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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 2  \hfill  7\ septembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}

\a Montrer que $10^n+9$ est multiple de $7 \Longleftrightarrow $ $10^n+9$ est multiple de $13$.
\bigskip
\a Trouver tous les entiers $n$ tels que $n^4-1$ est multiple de $15$.
\bigskip
\a Ecrire les tables de multiplication de $ \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.
\bigskip 
\a Montrer que $\forall a \in \mathbb{Z},\ a^7-a$ est multiple de $42$.
\a Montrer que $p$ et $8p^2+1$ premiers $\Longrightarrow p=3 \Longrightarrow 8p^2-1$ premier.
%
%
%
%
%
%Theorie des groupes
%
\a Les ensembles suivants sont-ils des groupes ? 
\medskip
\noindent $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ ,\cdot)$ 
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}-\{\overline{0}\}\ ,\cdot)$, $\mathbb{U}=\{ z\in \mathbb{C}\ /\ | z| =1\}$ et $\mathbb{U}_n=\{ z\in \mathbb{C}\ /\  z^n =1\}$ pour la multiplication, $\{A\in M_n(\mathbb R)/\ \det(A)=1\}$ et  $\{A\in M_n(\mathbb R)/\ \det(A)=-1\}$ pour la multiplication, $\{A\in M_n(\mathbb R)/\ \det(A)=0\}$ pour l'addition, $\{A\in M_n(\mathbb R)/\ \tr(A)=0\}$ pour l'addition.
%
\a Montrer que $ \mathbb{R}-\{ -1\}$ muni de la loi $\ast$ définie par 
$$x\ast y=x+y+xy$$
est un groupe commutatif.
%
\a Soit ${ G}=\rbrack-1,1\lbrack$ muni de la loi $\ast$ définie par
$$\forall x,y\in G, \quad x \ast y:=\frac{x+y}{1+xy}.$$
Montrer que $({G},\ast)$ est un groupe commutatif.
%
\a Soit $G$ le groupe des sym\'etries d'un rectangle 
(qui n'est pas un carr\'e) 
dans le plan, muni de la loi de la composition des applications. 
Donner une liste des \'el\'ements de $G$. 
\'Ecrire le table de groupe. 
Qu'est-ce qui se passe, si le rectangle est un carr\'e ?

\a\ \ \  Combien d'\'el\'ements contient le groupe des sym\'etries d'un cube ?
Pour chaque $n\in\mN^*$ d\'eterminer les \'el\'ements d'ordre $n$.

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}
















