Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2006–2007

Feuille 1 4 septembre 2006

1 Déterminer tous les n ∈ ℕ tel que

5 + n ≡ 2 mod 4
6 + n ≡ 3 mod 2
4n ≡ 1 mod 5
3n ≡ 2 mod 6
3n ≡ 3 mod 6

2 Montrer que pour tout n ∈ ℕ^{∗}, n(n + 1)(2n + 1) est multiple de 6. 3 Déterminer l’ensemble des entiers n ∈ ℕ vérifiant 3^{n} ≡ 1 mod 5, 786^{n} ≡ 1 mod 11, 1976^{n} ≡

4 mod 7 4 Montrer que si n ≡ 7 (mod 8), n ne peut être somme de 3 carrés d’entiers. 5 Montrer que pour tout n ∈ ℕ^{∗} :

1. 13 | 31^{4n+1} + 18^{4n−1}

2. 5 | 17^{4n+1} + 3.9^{2n}
3. 11 | 3^{2n+1} + 2.4^{3n+1}

6 Déterminer l’ensemble des entiers n ∈ ℕ tels que :

1. 7 | 5^{6n} + 5^{n} + 2

2. 6 | 5^{n} + 5n + 1
3. 13 | 5^{2n} + 5^{n}

7 Montrer que n^{3} + n^{2} + 1 n’est pas multiple de 5. Quels sont les entiers n tels que n^{4} + n^{3} + 1 est multiple de 5 ?

     http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3