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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices en G\'eom\'etrie Diff\'erentielle\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 5  \hfill  20\ mars 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a 
Soit 
 $$M:=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\,\Bigg|\,x^2+y^2=z^2,0<z<1 \right\}.$$
Pour $\alpha\in\mR$, soit $\Omega_\alpha:=(0,1)\times (\alpha,\alpha+2\pi)$.
Montrer que l'application
  $$\psi_\al: \Omega_\alpha \to M, \qquad (r,\phi)\mapsto (r\cos \phi, r\sin \phi,r)$$
est une param\'etrisation. Donner un atlas fini de $M$.
Calculer
$\int_M f$
pour $f(x,y,z)=1$, $f(x,y,z)=z$, $f(x,y,z)=x$.

\a Soit $f:[a,b]\to \mR^+_*$ lisse, est $M_f$ la surface de rotation 
associ\'ee \`a $f|_{(a,b)}$.
Calculer
  $$\vol(M_f)$$

\a Soit  $$S^2:=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\,\Bigg|\,x^2+y^2+z^2=1\right\}.$$
Calculer
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $\int_{S^2} x$
\item $\int_{S^2} x^2$
\item $\int_{S^2} x^4$
\end{enumerate}

\a On \'etudie sur le cylindre  
$$M:=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\,\Bigg|\,x^2+y^2=1\right\}$$ 
la fonction 
  $$f:M\to \mR,\qquad f(x,y,z)= e^{-z^2}.$$
Montrer que $f$ est int\'egrable et calculer $\int_M f$.
% 

\vspace\fill
\hrule
%{\it Rendre les solutions des 
%exercices jusqu'\`a mercredi, 19 avril, 15 heures, dans mon casier.}\\
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/geodiffm1}
\end{document}
















