Exercices en Géométrie Différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 4 (Présence) 8 mars 2006

1 Soit γ : ]a, b[ → ℝ^{n} une courbe regulière injective, tel que M := γ(]a, b[) est une sous-variété. Soit p = γ(t_{0}). Montrer que la deuxième form fondamentale II_{p} : T_{p}M × T_{p}M → N_{p}M satisfait

II_{p}(X, X) = ∥X∥^{2}K_{γ}(t_{0})

pour tout X ∈ T_{p}M.

2 Soit M_{f} la surface de rotation donnée par la fonction f : ℝ → ℝ^{+}. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que H = c = const (on obtient une equation différentielle). Montrer que cosh : ℝ → ℝ^{+} est une solution avec H ≡ 0.

3 On étudie l’application

Ψ_{α}(u, v) = (\begin{matrix}sin α cosh u cos v + cos α sinh u sin v \\ sin α cosh u sin v − cos α sinh u cos v \\ (sin α)u + (cos α)v \end{matrix})

(a) Montrer que Ψ_{α} est une immersion de ℝ^{2} dans ℝ^{3}.

(b) Calculer les g_{ij} associés à Ψ_{α}.

(c) Montrer que si Ω est un ouvert de ℝ^{2} tel que Ψ_{α}|_{Ω} et Ψ_{β}|_{Ω} sont des paramérisations (i.e. des homéomorphismes sur son image), alors Ψ_{α}(Ω) et Ψ_{β}(Ω) sont isométriques.

(d) Calculer un champ de vecteurs normals unitaires.

(e) Calculer les h_{ij}, la courbure moyenne H et la courbure de Gauss K.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/geodiffm1