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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
\def\tr{{\mathop{\rm tr\;}}}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices pour le cours G\'eom\'etrie et topologie
     \\Bernd Ammann, 2006}

    Feuille03, Exercices de pr\'esence  \hfill  F\'evrier 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a D\'et\'erminer toutes les courbes reguli\`eres 
$c:I \to S^m\subset \mR^{m+1}$ telle que la courbure g\'eod\'esique 
est identiquement nulle.

\a Soit $M\subset \mR^{m+1}$ une hypersurface, et $\nu:M\to S^m$ une 
application avec $\nu(p)\perp T_pM\quad \forall p\in M$.
Montrer pour tout $X,Y\in T_pM$
  $$\<\II_p(X,Y),\nu(p)\>= -g(d\nu_p(X),Y).$$
 
\a Soit $f:\mathopen]a,b\mathclose[\to \mR^+$ une fonction positive lisse. On d\'efinit la surface de rotation $M_f$ comme l'image 
de l'application
  $$\psi:\mR^2\to \mR^3,\qquad (s,t)\mapsto 
    \begin{pmatrix} 
      t\cr
      f(t) \cos s\cr
      f(t) \sin s
    \end{pmatrix}.
$$
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Calculer $T_pM_f$ pour tout $p\in M_f$. 
\item Construire une application $\nu:M_f\to S^2$, telle que 
$\nu(p)\in N_pM_f:=(T_pM_f)^\perp$ pour tout $p\in M$. 
\item Calculer $I\!I$, $i\!i$ et $S$. Donner une base 
$E_1(p),E_2(p)$ de $T_pM_f$ telle que $E_i(p)$ sont des directions 
principales.
\item Calculer la courbure moyenne $H(p)=\frac12 \tr S_p$ et 
la courbure Gaussienne $K=\det S_p$ en tout $p\in M_f$.
%\item Si $\det dN_p\equiv 0$, construire une isom\'etrie locale d'un ouvert (non vide) dans $M_f$.
%\item D\'et\'erminer toutes les fonctions $f$ telles que $\tr dN_p=0$ pour tout $p\in M_f$. 
\end{enumerate} 


\vskip2cm

%TD: 6 d\'ecembre 2005, 8:30 \`a 10:00, Salle 313.\\
%Rendez vos solutions dans mon casier, le 5 d\'ecembre jusqu'\`a 15:00 heures,
%s'il vous pla\^\i t.

\vskip 5mm
\vspace\fill
%\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/geodiffm1}
\end{document}


\a Soit $M$ une sous-vari\'et\'e de $\mR^n$ de dimension $m$, et soit $A:\mR^n\to \mR^n$ une application lin\'eaire 
avec $A^2=\Id$ et $A(M)=M$.
\begin{enumerate}[\rm(a)]
\item 
Le sous-espace $\{x\in$  telle que 
  $$\forall x\in M:$$ 
\end{enumerate}