Exercices pour le cours Géométrie et topologie Bernd Ammann, 2006 Feuille03, Exercices de présence Février 2006

1 Détérminer toutes les courbes regulières c : I → S^{m} ⊂ ℝ^{m+1} telle que la courbure géodésique est identiquement nulle.

2 Soit M ⊂ ℝ^{m+1} une hypersurface, et ν : M → S^{m} une application avec ν(p) ⊥ T_{p}M ∀p ∈ M. Montrer pour tout X, Y ∈ T_{p}M

⟨II_{p}(X, Y), ν(p)⟩ = −g(dν_{p}(X), Y).

3 Soit f : ]a, b[ → ℝ^{+} une fonction positive lisse. On définit la surface de rotation M_{f} comme l’image de l’application

ψ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (s, t) ↦ (\begin{matrix}t \\ f(t) cos s \\ f(t) sin s \end{matrix}) .

(a) Calculer T_{p}M_{f} pour tout p ∈ M_{f}.

(b) Construire une application ν : M_{f} → S^{2}, telle que ν(p) ∈ N_{p}M_{f} := (T_{p}M_{f})^{⊥} pour tout p ∈ M.

(c) Calculer II, ii et S. Donner une base E_{1}(p), E_{2}(p) de T_{p}M_{f} telle que E_{i}(p) sont des directions principales.

(d) Calculer la courbure moyenne H(p) = \frac{1}{2}tr S_{p} et la courbure Gaussienne K = det S_{p} en tout p ∈ M_{f}.