Exercices en Géométrie Différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 2 6 février 2006

1 Soit M := F^{−1}(0, 25) où F est la fonction défini dans Feuille 1, exercice no.3. Calculer T_{p}M pour tour p ∈ M.

2 Montrer que M = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ ℝ^{2} | |x| + |y| = 1\} n’est pas une sous-variété de ℝ^{2}.

Indication: Utilisez les caractérisations de l’espace tangent du cours.

3 Montrer que O(n) est une sous-variété de M_{n}(ℝ). Détérminer la dimension.

4 (La Bande de Moebius.) On définit

ψ : ℝ×] − 1, 1[→ ℝ^{3}

ψ(t, s) = (\begin{matrix}cos(t)(2 + s cos(t/2)) \\ sin(t)(2 + s cos(t/2)) \\ s sin(t/2) \end{matrix})

Montrer que M := ψ(ℝ×]−1, 1[) est une surface dans ℝ^{3}. (Attention: ψ n’est pas injective.) Faire un dessin de M. Montrer qu’il n’existe pas d’application continue N : M → S^{2} tel que N(p) ⊥ T_{p}M pour tout p ∈ M.

5 Soit M une hypersurface dans ℝ^{n+1}, et N : M → S^{n} une application lisse tel que N(p) ⊥ T_{p}M pour tout p ∈ M. Montrer que dN_{p}(X) ∈ T_{p}M.

Il est recommandé de rendre les solutions des exercices jusqu’à vendredi, 11 février, 15 heures, dans mon casier.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/geodiffm1