Exercices en Géométrie Différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 1 30 janvier 2006

1 Calculer la courbure κ(t) de l’ellipse

c : [0, 2π] → ℝ^{2}, c(t) = (\begin{matrix}a cos t \\ b sin t \end{matrix})

et détérminer tous les t ∈ [0, 2π[ avec κ̇(t) = 0.

2 Soit γ : [a, b] → ℝ^{2} une courbe paramétrée par longueur d’arc telle que γ(a) = γ(b) et

γ̇(a) = γ̇(b). Montrer que

∫_{a}^{b} κ_{γ}(t) dt ∈ 2πℤ.

Tracer une telle courbe paramétré par longueur d’arc γ avec ∫_{a}^{b} κ_{γ}(t) dt = 0, ∫_{a}^{b} κ_{γ}(t) dt = 2π, ∫_{a}^{b} κ_{γ}(t) dt = 4π, ∫_{a}^{b} κ_{γ}(t) dt = −2π.

3 On définit la fonction

F : ℝ^{3} \ \{(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ z \end{matrix}) | z ∈ ℝ\} → ℝ, F (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − 1)^{2} + z^{2}.

Montrer que F est lisse. Détérminer l’ensemble des valeurs régulières de F. Faire un déssin de F^{−1}(0, 25) et de F^{−1}(4). Déterminer l’ensemble des t ∈ ℝ tels que F^{−1}(t) est compact?

4 Les ensembles suivants sont-ils des sous-variétés de ℝ^{3} ou ℝ^{2}, et si oui, détérminer la dimension et le nombre des composantes connexes

(a) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1\}

(b) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\}

(c) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) ∈ ℝ^{3}, | x^{2} + y^{2} + z^{2} < 1\}

(d) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0\}

(e) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ ℝ^{2} | x^{2} − y^{2} = 0\}

(f) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ ℝ^{2} | x^{2} − y^{2} = 1\}

(g) M = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ ℝ^{2} | x^{2} − y^{2} = −1\}

5 Calculer la dérivée de l’application

det : M_{n}(ℝ) → ℝ.

Montrer que 1 est une valeur regulière de det. Indication: Montrer d’abord que

\frac{d}{dt}|_{t=0} det (Id_{n} + tA) = trA,

où Id_{n} est l’identité dans M_{n}(ℝ).

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/geodiffm1