Exercices pour le cours Géométrie différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 4 2 février 2006

1 Pour v,w ∈ T_{p}M on définit γ_{s}(t) = exp_{p}(t(v + sw)). Faire un développement limité de du champ de Jacobi ξ(t) := (d/ds)|_{s=0}γ_{s}(t) à l’ordre 2 en t = 0. En déduire le développement de g(ξ(t),ξ(t)) à l’ordre 4. En déduire que en coordonnées normaux

g_{ij}(x) = δ_{ij} − \frac{1}{3} x^{α}x^{β}g (R (\frac{∂}{∂x^{α}} ,\frac{∂}{∂x^{i}} ) \frac{∂}{∂x^{j}} \frac{∂}{∂x^{β}} ) + O(x^{3}).

2 Soit N une hypersurface compacte dans la variété riemannienne (M,g). On suppose que ν est un champ normale, ∥ν∥ ≡ 1. On définit φ_{t} : N → M, p ↦ exp_{p}(tν). Montrer qu’il y a un ε > 0 tel que pour tout t ∈ (−ε,ε), l’application φ_{t} est un plongement de N dans M. Pour p ∈ N, X ∈ T_{p}N, étudier le champ de Jacobi t ↦ dφ_{t}(X). En déduire que

\frac{d}{dt}|_{t=0} ((φ_{t})^{∗}g) = −2g(II,ν).

3 (Lemme de Synge.) Soit M une variété riemannienne de dimension n avec K > 0. Soit γ : [0,a] → M une géodésique avec γ̇(0) = γ̇(a) ∈ T_{p}M. Supposons que

\frac{d^{2}}{ds^{2}} |_{s=0}E[γ_{s}] ≥ 0

pour tout variation γ_{s} de γ. Soit P : T_{p}M → T_{p}M le transport parallèle le long de γ. Alors, det P = (−1)^{n−1}. Indication: Montrer d’abord que si det P ≠ (−1)^{n−1}, alors 1 est une valeur propre de P.

TD: Jeudi 9 février 2006, 8:00 à 10:00, Salle 3??. Rendez vos solutions dans mon casier, le 8 février jusqu’à 15:00 heures, s’il vous plaît.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/master