Exercices pour le cours Géométrie différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 3 25 janvier 2006

1 Soit V un fibré vectoriel sur une variété différentielle M avec une connexion ∇^{V}. On suppose que ∇ est une connexion sans torsion sur T M. On définit pour des champs de vecteurs X,Y,Z et pour une section v de V

R(X,Y)v := ∇_{X}^{V}∇_{Y}^{V} v − ∇_{Y}^{V} ∇_{X}^{V}v − ∇_{[X,Y]}^{V}v,
(∇_{X}R)(Y,Z)v := ∇_{X}^{V}(R(Y,Z)v) − R(∇_{X}Y,Z)v − R(Y,∇_{X}Z)v − R(Y,Z)∇_{X}^{V}v

Montrer que R et ∇R sont des tenseurs, plus exactement R ∈ T^{∗}M ⊗ T^{∗}M ⊗ V^{∗} ⊗ V et ∇R ∈ T^{∗}M ⊗ T^{∗}M ⊗ T^{∗}M ⊗ V^{∗} ⊗ V. Montrer la deuxième identité de Bianchi

(∇_{X}R)(Y,Z)v + (∇_{Y} R)(Z,X)v + (∇_{Z}R)(X,Y)v = 0.

Indication: Ou utiliser le cour de Berard-Bergery ou utiliser l’identité de Jacobi pour ∇_{X}^{V} comme expliqué dans le livre d’O’Neill.

2 Soit (M,g) une variété riemannienne. Pour un (2,0)-tenseur symétrique h on définit le 1forme div h comme

(div h)(X) = ∑_{i=1}^{n}(∇_{e_{i}}h)(e_{i},X)

où p ∈ M, X ∈ T_{p}M et e_{1}, …,e_{n} est une base orthonormée de T_{p}M. C’est la divergence de h. Montrer que pour tout f ∈ C^{∞}(M) on a

div(fg) = df et d scal = 2 div ric.

3 Soit (M,g) une variété riemannienne connexe de dimension ≥ 3, tel que ric = fg pour une fonction f ∈ C^{∞}(M). Montrer que f est constante.

4 Supposons que (M,h) est une variété riemannienne de dimension n telle que ric = cg òu c est une constante. On appelle des telles variétés riemanniennes des variétés Einstein. Supposons que N est une hypersurface dans M est que scal^{N} est la courbure scalaire de N par rapport à la métrique h = g|_{T N×T N}. On note II la deuxième forme fondamentale et ν un champ de vecteurs normal de longueur 1. Alors ii := g(II,ν) est un (2,0)-tenseur symétrique sur N. On définit |ii|_{2}^{2} := ∑_{i,j=1}^{n−1} ii(e_{i},e_{j})^{2} pour une base orthonormée e_{1}, …,e_{n−1} de T_{p}N. Montrer que

div ii = d(trii)
−(trii)^{2} + |ii|_{2}^{2} + scal^{N} = c(n − 2)

Ces équations s’appellent “Einstein constraint equations” et jouent un rôle éminent en rélativité générale.

TD: 1 février janvier 2006, 14:00 à 16:00, Salle 113. Rendez vos solutions dans mon casier, le 31 janvier jusqu’à 15:00 heures, s’il vous plaît.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/master