Exercices pour le cours Géométrie différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 2 10 janvier 2005

1 On suppose que exp_{x} est un difféomorphisme de V_{x} dans U_{x}. Alors φ := (exp_{x} |_{V_{x}})^{−1} sont des coordonnés normaux au point x. Montrer que

(a)

g_{ij}^{φ}(x) = δ_{ij} Γ_{ij}^{k}(x) = 0
pour tout i,j,k,

(b)

g_{ij}^{φ}(φ^{−1}(v)) = δ_{ij} + O(∥v∥^{2})
pour tout v ∈ V_{x}.

2 Soit M la sous-variété de ℝ^{5} = ℝ^{2} × ℝ^{3} donnée par la formule

M = {(x,y) | x ∈ ℝ^{2},y ∈ ℝ^{3},∥x∥ = 1,∥y∥ = 1} .

Calculer la deuxième forme fondamentale II de M dans ℝ^{5}. Utiliser le Theorema Egregium de Gauss pour en déduire le tenseur de courbure, le tenseur de Ricci et la courbure de scalaire de M.

3 Soient (M_{1},g_{1}) et (M_{2},g_{2}) deux variétés riemanniennes. Alors déterminer le tenseur de courbure, la courbure de Ricci et la courbure scalaire de (M_{1} × M_{2},g_{×}g_{2}) comme une expression en tenseur de courbure de (M_{1},g_{1}) et (M_{2},g_{2}).

4 Soit V un espace vectoriel réel de dimension n avec un produit scalaire (positif), et soit R l’espace de toutes les applications trilinéaires

α : V × V × V → V

qui ont les symétries du tenseur de Riemann. Montrer que la dimension de R est

\frac{n^{2}(n^{2} − 1)}{12} = (\frac{n(n − 1)}{2})^{2} − n (\begin{matrix}n \\ 3 \end{matrix})

TD: 24 janvier 2006, 8:30 à 10:00, Salle 313. Rendez vos solutions dans mon casier, le 23 janvier jusqu’à 15:00 heures, s’il vous plaît.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/master