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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 13  \hfill  10\ d\'ecembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\a Soit ${\cal G}$ un groupe d'ordre $n$, et soient ${\cal H}_1$ et ${\cal H}_2$ deux sous-groupes
d'ordre $k_1$ et $k_2$. Supposons que ${\cal H}_1\cap {\cal H}_2=\{e\}$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que $ppcm(k_1,k_2)$ divise  $n$.
\item Montrer que pour tout $g\in {\cal G}$, l'ensemble
${\cal H}_1\cap g{\cal H}_2$ contient au plus un \'el\'ement.
\item En conclure que $n\geq k_1k_2$.
\item Montrer que $k_1k_2$ divise $n$ si ${\cal G}$ est commutatif.
\item Donner un exemple (avec ${\cal G}$ non commutatif) tel que $k_1k_2$ ne divise pas $n$.
\end{enumerate}

\a Soient ${\cal G}$ un groupe fini et ${\cal H}$ et ${\cal K}$ deux sous-groupes de ${\cal G}$. 
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Supposons que ${\cal H}$ est distingu\'e dans ${\cal G}$, et que $pgcd([\cG:\cH],ord(\cK))=1$.
Alors $\cK$ est un sous-groupe de $\cH$.
\item Donner un exemple qui montre que cette conclusion n'est pas vrai sans la condition  
``${\cal H}$ est distingu\'e dans $\cG$''.
\end{enumerate}

\a On d\'efinit la fonction d'Euler $\phi:\mN\setminus\{0\}\to\mN\setminus\{0\}$ comme suivant:
$$\phi(n)= \#\left(\Big(\frac{\mZ}{n\mZ}\Big)^*\right)\qquad\mbox{si }n\geq 2$$
$$\phi(1)=1$$ 
Montrer que 
  $$n=\sum_{d|n} \phi(d)$$
pour tout $n\in \mN\setminus\{0\}$.

%\a Soit $\cG$ un groupe d'ordre $n\in\mN$, et supposer qu'il n'y a pas d'\'el\'ements
%d'ordre $2$.
%\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
%\item Montrer qu'il n'y a pas d'\'el\'ements d'ordre pair
%\item Soit 
%\item Montrer que l'ordre de $\cG$ est impair.
%\end{enumerate}
 
\a Soit ${\cal A}$ un anneau de caract\'eristique $2$ tel que $x^3=x$ pour tout $x\in \cA$. 
Montrer que $\cA$ est commutatif.

\a Soit $\cA$ un anneau, et $a$ un \'el\'ement nilpotent, c.\`a.d. $a^n=0$ pour un $n\in \mN\setminus\{0\}$.
Montrer que si $x$ est inversible et commute avec $a$, als $x-a$ est inversible et donner son inverse.

\newpage
\a Soit $\cA$ l'anneau $\mZ[i]$, et soit $p\in \mN$, $p>2$, $p$ premier.
Montrer qu'on a l'\'equivalence entre
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
\item $p$ est r\'eductible dans $\mZ[i]$,
\item il existe $x\in \mZ[i]$ avec $|x|^2=p$,
\item $p\equiv 1\ \mod 4$.  
\item $-\overline{1}$ est un carr\'e dans $\mZ/p\mZ$,
\end{enumerate} 

\a Montrer que les \'el\'ements irr\'eductibles dans $\mZ[i]$ sont 
\begin{itemize}
\item les nombres premiers $p$ tels que $p\equiv 3\mod 4$ et leurs associ\'es,
\item les \'el\'ements $z\in \mZ[i]$ tels que $|z|^2=2$,
\item les \'el\'ements $z\in \mZ[i]$ tels que $|z|^2=p$ o\`u $p$ est un premier, $p\equiv 1\mod 4$.
\end{itemize}    

\a D\'ecomposer $69+45 i$, $8+6i$, $26+65i$ en facteurs irr\'eductibles dans $\mZ[i]$.

\a D\'ecomposer $260$ en facteurs irr\'eductibles dans $\mZ[i]$. En d\'eduire que $260$ est la somme de deux carr\'es.

\a \ \ \ Calculer les pgcds dans $\mZ[i]$ suivants:  $pgcd(14-7i,2-i)$, $pgcd(26+65i,34+51i)$, $pgcd(69+45i, 12+18i)$.  

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\
\end{document}















