Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 13 10 décembre 2005

1 Soit G un groupe d’ordre n, et soient H_{1} et H_{2} deux sous-groupes d’ordre k_{1} et k_{2}. Supposons que H_{1} ∩ H_{2} = {e}.

(a) Montrer que ppcm(k_{1}, k_{2}) divise n.

(b) Montrer que pour tout g ∈ G, l’ensemble H_{1} ∩ gH_{2} contient au plus un élément.

(c) En conclure que n ≥ k_{1}k_{2}.

(d) Montrer que k_{1}k_{2} divise n si G est commutatif.

(e) Donner un exemple (avec G non commutatif) tel que k_{1}k_{2} ne divise pas n.

2 Soient G un groupe fini et H et K deux sous-groupes de G.

(a) Supposons que H est distingué dans G, et que pgcd([G : H], ord(K)) = 1. Alors K est un sous-groupe de H.

(b) Donner un exemple qui montre que cette conclusion n’est pas vrai sans la condition “H est distingué dans G”.

3 On définit la fonction d’Euler φ : ℕ \ {0} → ℕ \ {0} comme suivant:

φ(n) = # ((\frac{ℤ}{nℤ})^{∗}) si n ≥ 2

φ(1) = 1

Montrer que

n = ∑_{d|n} φ(d)

pour tout n ∈ ℕ \ {0}.

4 Soit A un anneau de caractéristique 2 tel que x^{3} = x pour tout x ∈ A. Montrer que A est commutatif.

5 Soit A un anneau, et a un élément nilpotent, c.à.d. a^{n} = 0 pour un n ∈ ℕ \ {0}. Montrer que si x est inversible et commute avec a, als x − a est inversible et donner son inverse.

6 Soit A l’anneau ℤ[i], et soit p ∈ ℕ, p > 2, p premier. Montrer qu’on a l’équivalence entre (i) p est réductible dans ℤ[i], (ii) il existe x ∈ ℤ[i] avec |x|^{2} = p, (iii) p ≡ 1 mod 4. (iv) −\overline{1} est un carré dans ℤ/pℤ,

7 Montrer que les éléments irréductibles dans ℤ[i] sont • les nombres premiers p tels que p ≡ 3 mod 4 et leurs associés,

• les éléments z ∈ ℤ[i] tels que |z|^{2} = 2,

• les éléments z ∈ ℤ[i] tels que |z|^{2} = p où p est un premier, p ≡ 1 mod 4.

8 Décomposer 69 + 45i, 8 + 6i, 26 + 65i en facteurs irréductibles dans ℤ[i].

9 Décomposer 260 en facteurs irréductibles dans ℤ[i]. En déduire que 260 est la somme de deux carrés.

10 Calculer les pgcds dans ℤ[i] suivants: pgcd(14−7i, 2−i), pgcd(26+65i, 34+51i), pgcd(69+ 45i, 12 + 18i).

     http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3