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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 12  \hfill  6\ d\'ecembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\a Les polyn\^omes suivants sont-ils primitifs?
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $P=6X^2+3X+2$ dans $\mZ[X]$
\item $P=6X^2+8X+2$ dans $\mZ[X]$
\item $P=6X^2+8X+2$ dans $\mQ[X]$
\item $P=5X^2+iX+i$ dans $(\mZ[i])[X]$
\item $P=6X^2+(1+i)X+2i$ dans $(\mZ[i])[X]$
\end{enumerate}
Si $P$ n'est pas primitif, \'ecrire $P$ comme $P=aP^*$, $P^*$ primitif.

\a 
D\'ecomposer en facteurs irr\'eductibles dans $\mZ[X]$
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $P=4X^3-14X^2+18$  
\item $P=6X^4-3 X^3-3X^2-3X+9$
\end{enumerate}

\a D\'emontrer que $X^4+X+1$ et $X^6+X^2+1$ sont irr\'eductibles dans $\mZ[X]$.

\a D\'emontrer que $1+(X-1)^2(X-3)^2$ est irr\'eductible dans $\mQ[X]$.

\a D\'ecomposer $2 X^8-2\in\mZ[X]$ et $X^8-16 \in\mZ[X]$ 
en facteurs irr\'eductibles dans $\mC[X]$, dans $\mR[X]$, dans $\mZ[X]$
et dans $(\mZ[i])[X]$.

\a\newline Trouver les racines de $P= X^4 -3X^3+6X^2-15X+5$ 
sachant que deux racines $a_1$ et $a_2$ v\'erifient
$a_1a_2=5$.\\
{\it Indication: \'Ecrire $P=(X^2+tX+5)(X^2+aX+b)$}

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\
\end{document}

\item[\large 13.]  On considère les polynômes $P(X)=X^5+X-\bar 2$ et $Q(X)=X^3-\bar{2}X+\bar 1$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ \lbrack X\rbrack$ et $f(x)=\widetilde{ P}(x)\ ,\ g(x)=\widetilde{ Q}(x)$ les fonctions polynomiales associées dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Comparer $f$ et $g$.
\bigskip\newpage














