Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 12 6 décembre 2005

1 Les polynômes suivants sont-ils primitifs?

(a) P = 6X^{2} + 3X + 2 dans ℤ[X]

(b) P = 6X^{2} + 8X + 2 dans ℤ[X]

(c) P = 6X^{2} + 8X + 2 dans ℚ[X]

(d) P = 5X^{2} + iX + i dans (ℤ[i])[X]

(e) P = 6X^{2} + (1 + i)X + 2i dans (ℤ[i])[X] Si P n’est pas primitif, écrire P comme P = aP^{∗}, P^{∗} primitif.

2 Décomposer en facteurs irréductibles dans ℤ[X] (a) P = 4X^{3} − 14X^{2} + 18

(b) P = 6X^{4} − 3X^{3} − 3X^{2} − 3X + 9

3 Démontrer que X^{4} + X + 1 et X^{6} + X^{2} + 1 sont irréductibles dans ℤ[X].

4 Démontrer que 1 + (X − 1)^{2}(X − 3)^{2} est irréductible dans ℚ[X].

5 Décomposer 2X^{8} − 2 ∈ ℤ[X] et X^{8} − 16 ∈ ℤ[X] en facteurs irréductibles dans ℂ[X], dans ℝ[X], dans ℤ[X] et dans (ℤ[i])[X].

6

Trouver les racines de P = X^{4} − 3X^{3} + 6X^{2} − 15X + 5 sachant que deux racines a_{1} et a_{2} vérifient a_{1}a_{2} = 5. Indication: Écrire P = (X^{2} + tX + 5)(X^{2} + aX + b)

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3