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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 11  \hfill  4\ d\'ecembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\a
On d\'ecomposer le polyn\^ome $P=6X^5-29 X^4+45 X^3-39 X^2+39 X -10$ 
en facteurs irr\'eductibles sachant qu'il y a des racines rationelles.
On suppose que $r=p/q$ est une racine de $P$ avec $p,q\in \mZ$, $q\neq 0$, $pgcd(p,q)=1$. 
\begin{enumerate}[{(\rm a)}]
\item Montrer que $p|10$ et $q|6$.
\item Montrer que $5|p$ ou
  $$pq\equiv \pm 2 \quad \mod 5$$
  {\it Indication: \'Etudier $q^5 P(p/q) \mod 5$}
\item Si $p=5k$, $k\in \mZ$ montrer que
  $$k\equiv -2q \quad \mod 5.$$  
  {\it Indication: \'Etudier $q^5 P(p/q)\quad\mod 25$}
\item Montrer que $P$ n'a pas de racine $r\in \mC$ avec $|r|\geq 10$   
\item D\'ecomposer $P$ en facteurs irr\'eductibles dans $\mR[X]$ et dans
$\mC[X]$.
\end{enumerate}

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Soit $P\in \mC[X]$. D\'emontrer que $P-X$ divise $P\circ P -X$ dans $\mC[X]$.
\item R\'esoudre dans $\mC$: $(z^2+3z+1)^2 +3 z^2 +8z +4=0$.
\item Soit $P\in \mR[X]$. D\'emontrer que $P-X$ divise $P\circ P -X$ dans $\mR[X]$.
\end{enumerate}

\a Soit ${\cal A}=\mZ[X]$. Soit $I$ l'id\'eal engendr\'e par $2$ et $X$.
Montrer que $I$ n'est pas un id\'eal principal.

\a Soit $P \in \mR[X]$ tel que la fonction polynomiale associ\'ee $\widetilde{P}$ est p\'eriodique.
Montrer que le polyn\^ome $P$ est constant.

\a Soit $P\in \mZ[X]$, $t\in \mZ$, $s=P(t)$. Montrer que $s$ divise $P(s+t)$.
\newpage
\a Soit $\mK$ un corps, et 
  $${\cal A}:=\{ P\in \mK[X]\,|\, \mbox{dont le coefficient de $X$ est nul}\}.$$
D\'emontrer que $\cal A$ est un sous-anneau non principal de $\mK[X]$.

\a Calculer le pgcd des polyn\^omes $P$ et $Q$ suivants \`a coefficients dans $\mR$ ou $\mC$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $P=X^4 + X^3 -3 X^2 -4X -1$\\
      $Q=X^3 + X^2 -X -1$ 
\item $P=X^4 -10 X^2 +1$\\
      $Q=X^4 -4 X^3 +6X^2 -4X+1$
\item $P=X^5-iX^4 +X^3 -X^2+iX-1$\\
      $Q=X^4 -i X^3 +3 X^2 -2iX +2$ 
\end{enumerate}

\a Montrer que les polyn\^omes $P$ et $Q$ suivants sont premiers entre eux. Trouver $U,V\in \mR[X]$ tels que 
$UP+VQ=1$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $P=X^4+X^3-2X +1$\\
      $Q=X^2+X+1$
\item $P=X^3+X^2+1$\\
      $Q=X^3+X+1$
\end{enumerate}


\a\newline Factoriser $X^8+X^4+1$ sur $\mR$.


\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\
\end{document}

\item[\large 13.]  On considère les polynômes $P(X)=X^5+X-\bar 2$ et $Q(X)=X^3-\bar{2}X+\bar 1$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ \lbrack X\rbrack$ et $f(x)=\widetilde{ P}(x)\ ,\ g(x)=\widetilde{ Q}(x)$ les fonctions polynomiales associées dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Comparer $f$ et $g$.
\bigskip\newpage














