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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 10  \hfill  25\ novembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Soit ${\cal A}$ un anneau comutatif int\`egre factoriel. 
Montrer que si $a\in {\cal A}\setminus\{0\}$ est irr\'eductible, alors $a$
est premier. 

\a Soit $P=X^4-12X^3+4X^2-11X+23$ et $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ ses racines complexes. Calculer $\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\alpha_i^2$ et $\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\alpha_i^3$.

\a Soit $P=X^3+2X+5$ et $\alpha,\beta,\gamma$ ses racines complexes. Calculer $\alpha^2\beta+\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha+\gamma^2\beta$.

\a Soit $P=2X^3-X^2-8X+\lambda$ où $\lambda\in \mathbb R$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item  Trouver $\lambda$ pour que $P$ admette deux racines complexes 
oppos\'ees l'une de l'autre.
\item Trouver $\lambda$ pour que $P$ admette deux racines complexes inverses l'une de l'autre.
\end{enumerate}

\a Soient $m,n\in \mathbb{ N}^*$ et $m=qn+r$ la division euclidienne de $m$ par $n$. 
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que le reste de la division euclidienne de $X^m-1$ par $X^n-1$ est $X^r-1$. 
\item Soit $d=pgcd(m,n)$. Montrer que le $pgcd$ de $X^m-1$ et $X^n-1$ est $X^d-1$.
\end{enumerate}

\a On consid\`ere la suite $(P_n)_{n\in \mathbb{ N}^*}$ de polyn\^omes de $\mathbb R\lbrack X\rbrack$ d\'efinie par :

$P_1=1\ ;\ P_2=X$ et $\forall n\geq 2,\ P_n=XP_{n-1}-P_{n-2}$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{ N}^*,\  P_{2n}(0)=0$ et $P_{2n+1}(0)=(-1)^n$.
\item Montrer que $\forall n\geq 2,\ P_n^2-P_{n-1}P_{n+1}=1$.
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{ N}^*$, $P_n$ et $P_{n+1}$ sont premiers entre eux. V\'erifier ce résultat sur $P_3$ et $P_4$ par l'algorithme d'Euclide.
\end{enumerate}

\newpage
\a
\begin{enumerate}[{\rm(a)}]
\item Soit $P\in \mathbb Z\lbrack X\rbrack$ de degr\'e $n$ s'\'ecrivant :
$P=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$. Montrer que si $P$ admet 
une racine rationnelle $\displaystyle r=\frac{p}{q}$ 
o\`u $p$ et $q$ sont des entiers non nuls premiers entre eux, 
alors $q|a_n$ et $p|a_0$.
\item D\'ecomposer en produit de facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$ et $\mathbb C\lbrack X\rbrack$ les polyn\^omes suivants :
$ 2X^4-3X^3-2X+3$, $6X^5-29X^4+45X^3-39X^2+39X-10.$
\end{enumerate}

\a D\'ecomposer en produit de facteurs irr\'eductibles 
dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$ le polyn\^ome $X^{2n}-2\cos \alpha X^n+1$ 
suivant les valeurs de 
$\alpha\in \mathbb{R}-\{k\pi/k\in \mathbb Z\}$.

D\'ecomposer en produit de facteurs irr\'eductibles 
dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$ le polynôme $X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$.

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que le polyn\^ome 
$P=\displaystyle\frac{1}{2i}\lbrack(X+i)^n-(X-i)^n\rbrack$ de $\mathbb C\lbrack X\rbrack$ est en fait \`a coefficients r\'eels.
\item Calculer les racines de $P$ dans $\mathbb C$.
\item D\'ecomposer $P$ en produit de facteurs irr\'eductibles 
dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.
\end{enumerate}
\end{document}


\item[\large 13.]  On considère les polynômes $P(X)=X^5+X-\bar 2$ et $Q(X)=X^3-\bar{2}X+\bar 1$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ \lbrack X\rbrack$ et $f(x)=\widetilde{ P}(x)\ ,\ g(x)=\widetilde{ Q}(x)$ les fonctions polynomiales associées dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Comparer $f$ et $g$.
\bigskip\newpage














