Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2005–2006

Feuille 10 25 novembre 2005

1 Soit A un anneau comutatif intègre factoriel. Montrer que si a ∈ A \ {0} est irréductible, alors a est premier.

2 Soit P = X^{4} − 12X^{3} + 4X^{2} − 11X + 23 et α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4} ses racines complexes. Calculer

∑_{i=1}^{4} α_{i}^{2} et ∑_{i=1}^{4} α_{i}^{3}.

3 Soit P = X^{3} + 2X + 5 et α, β, γ ses racines complexes. Calculer α^{2}β + α^{2}γ + β^{2}α + β^{2}γ + γ^{2}α + γ^{2}β.

4 Soit P = 2X^{3} − X^{2} − 8X + λ où λ ∈ ℝ.

(a) Trouver λ pour que P admette deux racines complexes opposées l’une de l’autre.

(b) Trouver λ pour que P admette deux racines complexes inverses l’une de l’autre.

5 Soient m, n ∈ ℕ^{∗} et m = qn + r la division euclidienne de m par n.

(a) Montrer que le reste de la division euclidienne de X^{m} − 1 par X^{n} − 1 est X^{r} − 1.

(b) Soit d = pgcd(m, n). Montrer que le pgcd de X^{m} − 1 et X^{n} − 1 est X^{d} − 1.

6 On considère la suite (P_{n})_{n∈ℕ^{∗}} de polynômes de ℝ[X] définie par :

P_{1} = 1 ; P_{2} = X et ∀n ≥ 2, P_{n} = XP_{n−1} − P_{n−2}.

(a) Montrer que ∀n ∈ ℕ^{∗}, P_{2n}(0) = 0 et P_{2n+1}(0) = (−1)^{n}.

(b) Montrer que ∀n ≥ 2, P_{n}^{2} − P_{n−1}P_{n+1} = 1.

(c) Montrer que ∀n ∈ ℕ^{∗}, P_{n} et P_{n+1} sont premiers entre eux. Vérifier ce résultat sur P_{3} et P_{4} par l’algorithme d’Euclide.

(a) Soit P ∈ ℤ[X] de degré n s’écrivant : P = a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0}. Montrer que si P admet une racine rationnelle r = \frac{p}{q} où p et q sont des entiers non nuls premiers entre eux, alors q|a_{n} et p|a_{0}.

(b) Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans ℝ[X] et ℂ[X] les polynômes suivants : 2X^{4} − 3X^{3} − 2X + 3, 6X^{5} − 29X^{4} + 45X^{3} − 39X^{2} + 39X − 10.

8 Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans ℝ[X] le polynôme X^{2n} −2 cos αX^{n} +1 suivant les valeurs de α ∈ ℝ − {kπ/k ∈ ℤ}. Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans ℝ[X] le polynôme X^{8} + X^{7} + X^{6} + X^{5} + X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1.

9

(a) Montrer que le polynôme P = \frac{1}{2i}[(X + i)^{n} − (X − i)^{n}] de ℂ[X] est en fait à coefficients réels.

(b) Calculer les racines de P dans ℂ.

(c) Décomposer P en produit de facteurs irréductibles dans ℝ[X].