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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 9  \hfill  21\ novembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Soit $P\in \mathbb R\lbrack X\rbrack$ tel que $P$ admet $7$, (resp. $-2$ et $5$) comme reste de la division euclidienne par $X-1$ (resp. $X-2$ et $X-4$). Trouver le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)(X-2)(X-4)$.

\a Trouver le reste de la division euclidienne de $X^{32}+X^{18}+1$ par $X^2+X+1$ dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.

\a Calculer le reste de la division euclidienne de $(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}$ par $X^2-X+1$ dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.

\a D\'eterminer les polyn\^omes $P\in \mathbb R\lbrack X\rbrack$ tels que $P'$ divise $P$.

\a \'Etudier la divisibilit\'e de $aX^4+bX^3+1$ par $(X-1)^2$ suivant 
les valeurs de $a$ et $b$ dans $\mathbb R$.

\a Discuter suivant les valeurs de l'entier $n\geq 2$ l'ordre de multiplicit\'e de $1$ comme racine du polyn\^ome $P_n=X^{2n}-nX^{n+1}+nX^{n-1}-1$.

\a Trouver le polyn\^ome unitaire $P\in \mathbb R\lbrack X\rbrack$ de degr\'e minimal admettant $1$ comme racine double, $2$ et $1+i$ comme racines simples.

\a Soit $\displaystyle P_n=\frac{1}{n!}X^n+\frac{1}{(n-1)!}X^{n-1}+\cdots+X+1$. $P_n$ admet-il des racines multiples dans $\mathbb C$ ?

\a Soit $P\in \mathbb R\lbrack X\rbrack$ ; montrer que si $X-1$ divise $P(X^n)$, alors  $X^n-1$ divise $P(X^n)$.

\a\ \newline Quelle(s) relation(s) doivent v\'erifier les nombres complexes $p$ et $q$ pour que le polyn\^ome $X^3+pX+q$ ait une racine au moins double dans 
$\mathbb C$ ?

\a\ \newline Trouver tous les polyn\^omes $P$ de $\mathbb R\lbrack X\rbrack$ v\'erifiant : $P(1)=-2$ ; $P(2)=5$ ; $P(3)=1$ ; $P(-1)=3$ ; $P(-3)=-4$ et $P(-2)=7$. 

\end{document}


\item[\large 13.]  On considère les polynômes $P(X)=X^5+X-\bar 2$ et $Q(X)=X^3-\bar{2}X+\bar 1$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ \lbrack X\rbrack$ et $f(x)=\widetilde{ P}(x)\ ,\ g(x)=\widetilde{ Q}(x)$ les fonctions polynomiales associées dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Comparer $f$ et $g$.
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