Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2005–2006

Feuille 9 21 novembre 2005

1 Soit P ∈ ℝ[X] tel que P admet 7, (resp. −2 et 5) comme reste de la division euclidienne par X − 1 (resp. X − 2 et X − 4). Trouver le reste de la division euclidienne de P par (X − 1)(X − 2)(X − 4).

2 Trouver le reste de la division euclidienne de X^{32} + X^{18} + 1 par X^{2} + X + 1 dans ℝ[X].

3 Calculer le reste de la division euclidienne de (X −1)^{n+2} +X^{2n+1} par X^{2} −X +1 dans ℝ[X].

4 Déterminer les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P′ divise P.

5 Étudier la divisibilité de aX^{4} + bX^{3} + 1 par (X − 1)^{2} suivant les valeurs de a et b dans ℝ.

6 Discuter suivant les valeurs de l’entier n ≥ 2 l’ordre de multiplicité de 1 comme racine du polynôme P_{n} = X^{2n} − nX^{n+1} + nX^{n−1} − 1.

7 Trouver le polynôme unitaire P ∈ ℝ[X] de degré minimal admettant 1 comme racine double, 2 et 1 + i comme racines simples.

8 Soit P_{n} = \frac{1}{n!}X^{n} + \frac{1}{(n − 1)!}X^{n−1} + ⋯ + X + 1. P_{n} admet-il des racines multiples dans ℂ ?

9 Soit P ∈ ℝ[X] ; montrer que si X − 1 divise P (X^{n}), alors X^{n} − 1 divise P (X^{n}).

10

Quelle(s) relation(s) doivent vérifier les nombres complexes p et q pour que le polynôme X^{3} + pX + q ait une racine au moins double dans ℂ ?

11

Trouver tous les polynômes P de ℝ[X] vérifiant : P (1) = −2 ; P (2) = 5 ; P (3) = 1 ; P (−1) = 3 ; P (−3) = −4 et P (−2) = 7.