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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 8  \hfill  11\ novembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Trouver tous les entiers $n$ tels que $n^4-1$ est multiple de $15$.

\a \'Ecrire les tables de multiplication de $ \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.

\a Montrer que $\forall a \in \mathbb{Z},\ a^7-a$ est multiple de $42$.

\a
\bigskip
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item R\'esoudre dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ l'équation $x^2+\bar 2x-\bar 3=\bar 0$.
\item Trouver tous les diviseurs de z\'ero de $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$.
\item R\'esoudre dans $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ l'\'equation $x^2+\bar 2x-\bar 3=\bar 0$.
\end{enumerate}

\a R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants 

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & 2\pmod{4}\\
n & \equiv  & 5\pmod{7} 
\end{array}
\right.\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & -1\pmod{4}\\
n & \equiv  & 2\pmod{7} 
\end{array}
\right.$$

\a R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants 

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & 1\pmod{4}\\
n & \equiv  & 3\pmod{6} 
\end{array}
\right.\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & 3\pmod{4}\\
n & \equiv  & 2\pmod{6} 
\end{array}
\right.$$
\bigskip

\a Trouver les entiers compris entre $700$ et $4000$ tels que le
reste de la division par $17$ ( resp. $11$ et $6$ ) soit \'egal 
{\`a} $3$ ( resp. $4$ et $5$ ).

\a R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants successivement dans
$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ et
$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ 
\bigskip
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\bar 2 x+\bar 2 y & = & \bar 4\\
\bar 5 x+\bar 3 y & = & \bar 3
\end{array}
\right.\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
\bar 2 x-\bar 4 y & = & \bar 2\\
\bar 1 x+\bar 5 y & = & \bar 2
\end{array}
\right.$$

\a Soit $a,b\in \mathbb{N}^*$ tels que $a=2^{\alpha}5^{\beta}b$ 
et $pgcd(10,b)=1$. Montrer qu'il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel 
que $10^k \equiv 1\ mod\ (b)$ puis qu'on peut trouver un multiple de $a$ qui 
s'\'ecrit sous la forme $99...900...0$.

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item D\'ecomposer le polyn\^ome $X^4+4$ en produits de facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb C \lbrack X\rbrack$ puis dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.
\item Montrer que le seul nombre premier de la forme $n^4+4$ où $n\in \mathbb Z$ est $5$.
\item Soit $n\in \mathbb Z$ ; montrer que $5\text{ divise }n^4+4\Longleftrightarrow 5\text{ ne divise pas }n.$
\end{enumerate}

\a\ \newline
Soit $P:=X^2+1\in \mR[X]$.

\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Calculer $P\circ Q$ o\`u $Q=X+3$.
\item Calculer $P\circ P$.
\item Soient 
$$\phi:\mR\to M_2(\mR),\quad \phi(r):= \begin{pmatrix}r & 0 
\cr  0 & r\end{pmatrix}$$ 
et $B:=\begin{pmatrix}0 & 1 \cr -1 & 0\end{pmatrix}$.
Calculer ${\rm ev_B^\phi}(P)$.
{\it Remarque. Souvent on note $P(B):={\rm ev_B^\phi}(P)$.}
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


\item[\large 13.]  On considère les polynômes $P(X)=X^5+X-\bar 2$ et $Q(X)=X^3-\bar{2}X+\bar 1$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ \lbrack X\rbrack$ et $f(x)=\widetilde{ P}(x)\ ,\ g(x)=\widetilde{ Q}(x)$ les fonctions polynomiales associées dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Comparer $f$ et $g$.
\bigskip\newpage














