Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2005–2006

Feuille 8 11 novembre 2005

1 Trouver tous les entiers n tels que n^{4} − 1 est multiple de 15. 2 Écrire les tables de multiplication de ℤ/7ℤ et ℤ/8ℤ. 3 Montrer que ∀a ∈ ℤ, a^{7} − a est multiple de 42.

4

(a) Résoudre dans ℤ/7ℤ l’équation x^{2} + ¯2x − ¯3 = ¯0.

(b) Trouver tous les diviseurs de zéro de ℤ/21ℤ.

(c) Résoudre dans ℤ/21ℤ l’équation x^{2} + ¯2x − ¯3 = ¯0. 5 Résoudre les systèmes d’équations suivants

\{ \begin{matrix}n & ≡ & 2 (mod 4) \\ n & ≡ & 5 (mod 7) \end{matrix}  \{ \begin{matrix}n & ≡ & −1 (mod 4) \\ n & ≡ & 2 (mod 7) \end{matrix}

6 Résoudre les systèmes d’équations suivants

\{ \begin{matrix}n & ≡ & 1 (mod 4) \\ n & ≡ & 3 (mod 6) \end{matrix}  \{ \begin{matrix}n & ≡ & 3 (mod 4) \\ n & ≡ & 2 (mod 6) \end{matrix}

7 Trouver les entiers compris entre 700 et 4000 tels que le reste de la division par 17 ( resp.

11 et 6 ) soit égal à 3 ( resp. 4 et 5 ). 8 Résoudre les systèmes d’équations suivants successivement dans ℤ/6ℤ, ℤ/7ℤ, ℤ/8ℤ et ℤ/9ℤ

\{ \begin{matrix}¯2x + ¯2y & = & ¯4 \\ ¯5x + ¯3y & = & ¯3 \end{matrix}  \{ \begin{matrix}¯2x − ¯4y & = & ¯2 \\ ¯1x + ¯5y & = & ¯2 \end{matrix}

9 Soit a, b ∈ ℕ^{∗} tels que a = 2^{α}5^{β}b et pgcd(10, b) = 1. Montrer qu’il existe k ∈ ℕ^{∗} tel que 10^{k} ≡ 1 mod (b) puis qu’on peut trouver un multiple de a qui s’écrit sous la forme 99...900...0.

(a) Décomposer le polynôme X^{4} + 4 en produits de facteurs irréductibles dans ℂ[X] puis dans ℝ[X].

(b) Montrer que le seul nombre premier de la forme n^{4} + 4 où n ∈ ℤ est 5.

(c) Soit n ∈ ℤ ; montrer que 5 divise n^{4} + 4 ⟺ 5 ne divise pas n.

11 Soit P := X^{2} + 1 ∈ ℝ[X].

(a) Calculer P ∘ Q où Q = X + 3.

(b) Calculer P ∘ P.

(c) Soient

φ : ℝ → M_{2}(ℝ), φ(r) := (\begin{matrix}r & 0 \\ 0 & r \end{matrix})

et B := (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}). Calculer ev_{B}^{φ}(P). Remarque. Souvent on note P (B) := ev_{B}^{φ}(P).

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3