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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 7  \hfill  8\ novembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a D\'eterminer l'ensemble des entiers $n\in \mathbb{N}$ v\'erifiant 
 $786^n\equiv 1\ (mod\ 11)$.

\a D\'eterminer l'ensemble des entiers $n\in \mathbb{N}$ v\'erifiant 
$1976^n\equiv 4\ (mod\ 7)$.

\a Montrer que si $n\equiv 7 \ (mod\ 8)$, $n$ ne peut {\^e}tre 
somme de $3$ carr\'es d'entiers.

\a Pour $m=7,13,17$ d\'eterminer tous les $n\in\mN$ tels que
$10^n\equiv 1 \ (mod\ m)$.


\a Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}^*$ :
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $13\ |\ 31^{4n+1}+18^{4n-1}$
\item $5\ |\ 17^{4n+1}+3.9^{2n}$
\item $11\ |\ 3^{2n+1}+2.4^{3n+1}$
\end{enumerate}


\a D\'eterminer l'ensemble des entiers $ n\in \mathbb{N}$ tels que :
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $7\ |\ 5^{6n}+5^n+2$
\item $6\ |\ 5^n+5n+1$
\item $13\ |\ 5^{2n}+5^n$
\end{enumerate}

\a Montrer que $n^3+n^2+1$ n'est pas multiple de $5$. Quels sont les entiers $n$ tels que $n^4+n^3+1$ est multiple de $5$ ?

\a Montrer que $10^n+9$ est multiple de $7 \Longleftrightarrow $ $10^n+9$ est multiple de $13$.



\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}
















