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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 6  \hfill  24\ octobre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Montrer que pour tout nombre premier $p>3$, $24$ divise $p^2-1$.

\a D\'eterminer les entiers $n\in \mathbb{N}$ v\'erifiant $pgcd(2n+18,n+3)=1$.

\a En utilisant la d\'ecomposition en facteurs premiers, montrer le lemme
de Gauss (Corollaire 3.3.5 du cours):
Soient $a,b,c\in\mZ\setminus\{0\}$. 
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Si $a|bc$ et si ${\rm pgcd}(a,b)=1$, alors $a|c$.
\item Si ${\rm pgcd}(a,b)=1$, $a|c$ et $b|c$, alors $ab|c$.
\end{enumerate}

\a Soit $p$ un nombre premier positif et $k$ un entier, $1<k<p$.
Alors $p$ divise  
  $$\begin{pmatrix}p\cr k\end{pmatrix}={p!\over k!\, (p-k)!}.$$ 

\a R\'esoudre les \'equations suivantes :
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $57x+141y=1$ dans $\mathbb{Z}^2$.
\item $57x+141y=42$ dans $\mathbb{Z}^2$.
\item $253x-570y=1$ dans $\mathbb{Z}^2$ avec $x<3000$ et $y>1000$.
\item $6x+15y+10z=1$ dans $\mathbb{Z}^3$.
\end{enumerate}


%\a Montrer que le produit de $n$ nombres cons\'ecutifs est un multiple de $n!$.

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}
















