Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2005–2006

Feuille 6 24 octobre 2005

1 Montrer que pour tout nombre premier p > 3, 24 divise p^{2} − 1.

2 Déterminer les entiers n ∈ ℕ vérifiant pgcd(2n + 18, n + 3) = 1.

3 En utilisant la décomposition en facteurs premiers, montrer le lemme de Gauss (Corollaire 3.3.5 du cours): Soient a, b, c ∈ ℤ \ {0}.

(a) Si a|bc et si pgcd(a, b) = 1, alors a|c.
(b) Si pgcd(a, b) = 1, a|c et b|c, alors ab|c.

4 Soit p un nombre premier positif et k un entier, 1 < k < p. Alors p divise

(\begin{matrix}p \\ k \end{matrix}) = \frac{p!}{k! (p − k)!}.

5 Résoudre les équations suivantes :

(a) 57x + 141y = 1 dans ℤ^{2}.

(b) 57x + 141y = 42 dans ℤ^{2}.

(c) 253x − 570y = 1 dans ℤ^{2} avec x < 3000 et y > 1000.

(d) 6x + 15y + 10z = 1 dans ℤ^{3}.

     http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3