Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 5 17 octobre 2005

1 Soit D l’ensemble ℝ^{2} muni des deux lois définies par : ∀(x, y), (x′, y′) ∈ ℝ^{2}, (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′)

(x, y) · (x′, y′) = (xx′, xy′ + yx′)

On note D_{1} = ℝ × {0}, D_{2} = {0} × ℝ.

(a) Montrer que (D, +, ·) est un anneau commutatif.

(b) (i) D_{1} et D_{2} sont-ils des sous-anneaux de D ? Des idéaux de D ?

(ii) Soit z = (a, b) ∈ D et soit I_{z} = zD l’idéal de D engendré par z. Montrer que si

z ∈ D_{2} − {(0, 0)} alors I_{z} = D_{2}, et si z ∉ D_{2} alors I_{z} = D. (iii) En déduire que les seuls idéaux de D sont {(0, 0)}, D_{2} et D.

(c) (i) D est-il un anneau intègre ? un corps ? (ii) Montrer que D^{∗} = D − D_{2}.

2 Montrer que

\{(\begin{matrix}a + bi & c + di \\ −c + di & a − bi \end{matrix}) | a, b, c, d ∈ ℝ\}

est un sous-anneau de M_{2}(ℂ).

3 On munit ℍ := ℝ^{4} avec l’addition des vecteurs dans ℝ^{4}. Nous notons

1 := (1, 0, 0, 0) i := (0, 1, 0, 0) j := (0, 0, 1, 0) k := (0, 0, 0, 1).

(a) Montrer qu’il existe une unique application bilinéaire · : ℍ × ℍ → ℍ, telle qu’on a 1 · 1 = 1, 1 · i = i · 1 = i, 1 · j = j · 1 = j, 1 · k = k · 1 = k, i · i = j · j = k · k = −1, i · j = k, j · i = −k, j · k = i, k · j = −i, k · i = j, i · k = −j.

(b) Montrer que la multiplication · est associative.

Indication: On montre que l’application

ℍ → M_{2}(ℂ)
(a, b, c, d) = a1 + bi + cj + dk ↦ (\begin{matrix}a + bi & c + di \\ −c + di & a − bi \end{matrix})

presèrve la multiplication.

(c) En déduire que (ℍ, +, ·) est un anneau non-commutatif.

(d) Déterminer l’ensemble G le plus petit, tel que (G, ·) est un groupe et tel que i, j ∈ G. Quel est l’ordre de G?

(e) Montrer que (ℍ, +, ·) est un anneau à division.

4 Montrer que (a) ∀n ∈ ℤ, 11|3^{n+3} − 4^{4n+2}.

(b) ∀n ∈ ℤ, 6|n(2n + 1)(7n + 1).

(c) ∀n ∈ ℤ, 60|n^{2}(n^{4} − 1).

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(a) Montrer que 2^{994} divise 1000! et que 2^{995} ne divise pas 1000!.

(b) Trouver le plus grand entier n ∈ ℕ tel que 3^{n} divise 1000!.

6 Calculer le pgcd de : (a) 4312 et 1755.

(b) n − 1 et n + 1.

(c) n! + 1 et (n + 1)! + 1.

(d) n^{2} + 1 et n(n^{2} − 1).

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3