Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 4 7 octobre 2005

1 Les ensembles suivants sont-ils des anneaux? commutatifs? intègres? des corps? (a) ℤ[\sqrt{3}] := \{a + b\sqrt{3}/ a,b ∈ ℤ\}.

(b) ℚ[\sqrt{3}] := \{a + b\sqrt{3}/ a,b ∈ ℚ\}.

(c) ℤ[i\sqrt{2}] := \{a + ib\sqrt{2}/ a,b ∈ ℤ\}.

(d) ℤ[i] := {a + ib/ a,b ∈ ℤ}.

(e) M_{n}(ℝ), l’ensemble des matrices carrées n × n à coefficients réels.

(f) GL_{n}(ℝ), le sous-ensemble de M_{n}(ℝ) des matrices inversibles.

(g) F(E,ℝ), l’ensemble des applications d’un ensemble E dans ℝ.

(h) C(ℝ,ℝ), l’ensemble des applications continues de ℝ dans ℝ.

(i) L’ensemble des suites réelles.

(j) L’ensemble des suites réelles bornées.

(k) ℝ_{n}[X], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ≤ n.

(l) L’ensemble des entiers pairs.

(m) L’ensemble des entiers impairs.

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(a) Montrer que ℝ^{2} muni des deux lois suivantes

(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)
(a,b) · (c,d) = (ac,bd)

est un anneau commutatif. Est-ce un corps?

(b) Montrer que ℝ^{2} muni des deux lois suivantes

(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)
(a,b) ∗ (c,d) = (ac − bd,ad + bc)

est un corps.

(c) Montrer que l’application φ : (a,b) ⟼ a+ib est un isomorphisme de corps de (ℝ^{2},+,∗) sur (ℂ, + ,×).

(a) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau ℤ.

(b) On considère sur l’anneau ℤ[i] l’application N(z) = z\overline{z}.

(i) Montrer que pour tout z ∈ ℤ[i], N(z) ∈ ℕ. (ii) Montrer que (ℤ[i])^{∗} = {z ∈ ℤ[i]/N(z) = 1}. (iii) En déduire les éléments inversibles de ℤ[i].

(c) De même déterminer les éléments inversibles de l’anneau Z[i\sqrt{2}] et de l’anneau ℤ[j] où j = e^{\frac{2iπ}{3}} .

4 Les ensembles suivants sont-ils des idéaux?

(a) nℤ dans l’anneau ℤ (n ∈ ℕ).

(b) {P ∈ ℝ[X]/ P (α) = 1} dans ℝ[X] (α ∈ ℝ).

(c) L’ensemble des suites réelles convergeant vers 0 dans l’anneau des suites bornées.

(d) L’ensemble des suites réelles convergeant vers 1 dans l’anneau des suites bornées.

(e) L’ensemble des fonctions dérivables de ℝ dans ℝ dans l’anneau C(ℝ,ℝ).

(f) ℝ_{n}[X] dans l’anneau ℝ[X].

5 Montrer la formule du binôme de Newton dans un anneau commutatif.

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(a) Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. Montrer les équivalences suivantes :

I = A ⟺ 1_{A} ∈ I ⟺ I ∩ A^{∗} ≠ ∅

(b) Soit A un corps commutatif et soit I un idéal de A non réduit à {0_{A}}: montrer que 1_{A} ∈ I.

(c) Soit A un anneau commutatif non réduit à {0_{A}} dont les seuls idéaux sont A et {0_{A}}. Soit a un élément non nul de A: en considérant l’idéal (a), montrer que a est inversible.

(d) Montrer qu’un anneau commutatif A non réduit à {0_{A}} est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont A et {0_{A}}.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3