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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 3  \hfill  30\ septembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soient $\mathcal{G}$ et  $\mathcal{G'}$ des groupes, et 
$\phi:\mathcal{G}\to \mathcal{G'}$ un homomorphisme.
Soit $\mathcal{H}'$ un sous-groupe de~$\mathcal{G'}$. Montrer que 
$\phi^{-1}(\mathcal{H}')$ est un sous-groupe de $\mathcal{G}$.

\a Soient $n,m\in \mZ$. D\'eterminer le sous-groupe engendr\'e
par $\{n,m\}$.\\
{\it Indication: Il est utile d'utiliser la 
division euclidienne dans $\mZ$.} 

\a Soit $\mathbb{U}_n=\{ z\in \mathbb{C}\ /\  z^n =1\}$ 
pour $n\in \mathbb{N}^*$, et $\mathbb{U}:=\bigcup_{n\in \mN} \mathbb{U}_n$.
Montrer que $\ord (\mathbb{U})=\infty$, mais que $\ord(x)<\infty$ pour tout
$x\in \mathbb{U}$.

\a D\'eterminer tous les sous-groupes de $S_3$. 
Parmi eux, lesquels sont normaux?

\a Soit $\mathcal{G}$ un groupe, et soit  $\mathcal{H}$ un sous-groupe
d'indice $2$.  Montrer que $\mathcal{H}$ est un sous-groupe normal de  
$\mathcal{G}$.

\a Soit $\mathcal{G}$ un groupe dont tous les \'el\'ements 
sont d'ordre $1$ ou $2$.
\begin{enumerate}[{\rm(a)}]
\item Montrer que $\mathcal{G}$ est commutatif.
\item Soit $x\in\mathcal{G}$, $x\neq e$. 
Montrer que tous les \'el\'ements de  $\mathcal{G}/\<x\>$ 
sont d'ordre $1$ ou $2$.
\item Supposons en plus que $\mathcal{G}$ est d'ordre fini.
Montrer que l'ordre de $\mathcal{G}$ est une puissance de~$2$.
\end{enumerate}

\a Soit $p\in \mN^*$ premier.
D\'eterminer tous les automorphismes de groupe de $\mZ/p\mZ$.


\a D\'eterminer, \`a isomorphisme pr\`es, tous les groupes 
d'ordre $5$, $6$, $7$ et $14$.

\a Montrer que le groupe $Sl(n,\mR)$ est un sous-groupe 
distingu\'e du groupe $Gl(n,\mR)$. Montrer
que $Gl(n,\mR)/Sl(n,\mR)$ est isomorphe \`a $(\mR^*,\cdot)$.

\a Montrer que 
$$\mathcal{I}:=
\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \cr 0 & 1 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \cr 0 & -1 
\end{pmatrix}
\right\}$$
est un sous-groupe distingu\'e de $SU(2)$ et montrer que 
$SU(2)/\mathcal{I}$ est isomorphe \`a $SO(3)$.
 

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}
















