Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2005–2006

Feuille 3 30 septembre 2005

1 Soient G et G′ des groupes, et φ : G → G′ un homomorphisme. Soit H′ un sous-groupe de G′. Montrer que φ^{−1}(H′) est un sous-groupe de G.

2 Soient n,m ∈ ℤ. Déterminer le sous-groupe engendré par {n,m}.

Indication: Il est utile d’utiliser la division euclidienne dans ℤ.

3 Soit 𝕌_{n} = {z ∈ ℂ / z^{n} = 1} pour n ∈ ℕ^{∗}, et 𝕌 := ⋃_{n∈ℕ} 𝕌_{n}. Montrer que ord(𝕌) = ∞, mais que ord(x) < ∞ pour tout x ∈ 𝕌.

4 Déterminer tous les sous-groupes de S_{3}. Parmi eux, lesquels sont normaux?

5 Soit G un groupe, et soit H un sous-groupe d’indice 2. Montrer que H est un sous-groupe normal de G.

6 Soit G un groupe dont tous les éléments sont d’ordre 1 ou 2.

(a) Montrer que G est commutatif.

(b) Soit x ∈ G, x ≠ e. Montrer que tous les éléments de G/⟨x⟩ sont d’ordre 1 ou 2.

(c) Supposons en plus que G est d’ordre fini. Montrer que l’ordre de G est une puissance de 2.

7 Soit p ∈ ℕ^{∗} premier. Déterminer tous les automorphismes de groupe de ℤ/pℤ.

8 Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes d’ordre 5, 6, 7 et 14.

9 Montrer que le groupe Sl(n,ℝ) est un sous-groupe distingué du groupe Gl(n,ℝ). Montrer que Gl(n,ℝ)/Sl(n,ℝ) est isomorphe à (ℝ^{∗},·).

10 Montrer que

I := \{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})\}

est un sous-groupe distingué de SU(2) et montrer que SU(2)/I est isomorphe à SO(3).

     http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3