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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 2  \hfill  19.\ septembre 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soit : $\mathbb{U}_n=\{ z\in \mathbb{C}\ /\  z^n =1\}$ pour $n\in \mathbb{N}^*$. On considère l'application :

 $$\overline{\varphi }\ : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \longrightarrow \  \mathbb{U}_n$$
$$\qquad \qquad\qquad  \overline{k}\ \longmapsto \ \exp\left(\frac{2ik\pi }{n}\right)$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que l'application $\overline{\varphi }$ est bien définie et est un isomorphisme de groupes de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{U}_n$.
\item Quels sont les éléments $z\in \mathbb{U}_n$ tels que $ \mathbb{U}_n=\langle z\rangle $ ?  

\end{enumerate}

\a D\'eterminer tous les automorphismes de $S_3$.


\a Montrer que le groupe $S_4$ contient un sous-groupe ${\cal G}$ 
isomorphe au groupe engendré par les symétries orthogonales du rectangle. 
%Calculer les ordres des éléments de ${\cal G}$.

\a Soit $p$ un nombre premier. Montrer que tout groupe d'ordre $p$ est cyclique.



\a Déterminer, à isomorphisme près, les groupes 
d'ordre $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$.


\komment{
\a
 On consid\`ere $S_3=\lbrace e,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5 \rbrace$ le groupe des permutations \`a trois \'el\'ements :
$$e= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\\ 
\end{array}
\right), \sigma_1 =\left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&1&3\\ 
\end{array}
\right) ,\sigma_2=\left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&3&2\\ 
\end{array}
\right)$$ 
$$\sigma_3= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&2&1\\ 
\end{array}
\right),\sigma_4= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2\\ 
\end{array}
\right),\sigma_5= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1\\ 
\end{array}
\right)$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ecrire la table du groupe $S_3$.
\item Calculer les ordres des \'el\'ements de $S_3$.
\item Trouver tous les sous-groupes de $S_3$.
\item $S_3$ est-il isomorphe \`a $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ?
\end{enumerate}
}

\a
 Soit ${\cal G}$ le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de $\mathbb Z/24\mathbb Z$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que ${\cal G}=\{\overline{1},-\overline{1},\ \overline{5},-\overline{5},\ \overline{7},-\overline{7},\ \overline{11},-\overline{11}\}$.
\item Ecrire la table du groupe ${\cal G}$.
\item Calculer les ordres des éléments de ${\cal G}$ ; ${\cal G}$ est-il cyclique ? 
\end{enumerate}
\item Soit ${\cal H}$ un sous-groupe de ${\cal G}$ : quelles sont les valeurs possibles pour l'ordre de ${\cal H}$ ?
\item Déterminer tous les sous-groupes de ${\cal G}$ d'ordre $2$.
\item Soit ${\cal H}$ un sous-groupe de ${\cal G}$ d'ordre $4$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que si $-\overline{1}\in {\cal H}$, alors ${\cal H}$ est de la forme ${\cal H}=\{\overline{1},-\overline{1},\ \overline{a},-\overline{a}\}$ où $\overline{a}\in \{\overline{5},\ \overline{7},\ \overline{11}\}$.
\item Montrer que si $-\overline{1}\not\in {\cal H}$, alors ${\cal H}$ est de la forme ${\cal H}=\{\overline{1},\ \overline{a},\ \overline{b},\ \overline{ab}\}$ où $\overline{a}$ et $\overline{b}$ sont distincts, différents de $\overline{1}$ et de $-\overline{1}$ et où $\overline{b}\not=-\overline{a}$.

\end{enumerate}
\item Expliciter tous les sous-groupes de ${\cal G}$.



\item On considère l'application
$$\begin{array}{rcccl}
\varphi: & \langle -\overline{1} \rangle\times  \langle \overline{5} \rangle\times  \langle \overline{7} \rangle&\longrightarrow & {\cal G}\\
 & (\overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c})&  \longmapsto & \overline{abc}
\end{array}$$



\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de groupes.
\item En déduire que ${\cal G}\simeq \left(\mathbb Z/2\mathbb Z\right)^3$.
\end{enumerate}
\item  Soit ${\cal G}_1$ le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de $\mathbb Z/30\mathbb Z$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les éléments de ${\cal G}_1$. 
\item Calculer les ordres des éléments de ${\cal G}_1$ .
\item ${\cal  G}$ et ${\cal G}_1$ sont-ils isomorphes ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}





\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}
















