Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 1 12. septembre 2005

1 Soit G l’ensemble des symétries d’un rectangle dans le plan. Déterminer tous les éléments de G. Montrer que G muni avec la composition est un groupe. Ècrire le table de groupe. Qu’est-ce qui se passe, si le rectangle est un carré?

2 Écrire le table du groupe des symétries d’un triangle équilatéral.

3 Les ensembles suivants sont-ils des groupes ? (ℤ/nℤ ,+), (ℤ/nℤ − {0} ,×), 𝕌 = {z ∈

ℂ / |z| = 1} et 𝕌_{n} = {z ∈ ℂ / z^{n} = 1} pour la multiplication, {A ∈ M_{n}(ℝ)/ det(A) = 1} et {A ∈ M_{n}(ℝ)/ det(A) = −1} pour la multiplication, {A ∈ M_{n}(ℝ)/ det(A) = 0} pour l’addition.

4 Soit G =] − 1,1[ muni de la loi ∗ définie par

∀(x,y) ∈ G^{2}, x ∗ y = \frac{x + y}{1 + xy} .

Montrer que (G,∗) est un groupe commutatif.

5 Montrer que ℝ − {−1} muni de la loi ∗ définie par

x ∗ y = x + y + xy

est un groupe commutatif.

6 Montrer que ℝ muni de la loi ∗ définie par :

x ∗ y = (x^{3} + y^{3})^{\frac{1}{3}}

est un groupe commutatif isomorphe à (ℝ,+). (On pourra considérer l’application x ⟶ \sqrt[3]{x} ).

7 Soit G l’ensemble des matrices \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} ( \begin{matrix}1 & x \\ x & 1 \end{matrix} ) pour x ∈] − 1,1[. Montrer que G est un

groupe isomorphe à (ℝ , +) (considérer l’application u ↦ thu).

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3