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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Analyse de Fourier\\Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005}

    Feuille 6  \hfill 13~mai 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soit $T$ l'op\'erateur diff\'erentiel agissant sur les
fonctions trois fois d\'erivables sur $\mR$ d\'efini par  
$T = \frac{d^3}{dx^3} - \frac{d}{dx} $. Soit $k \in \mZ$. 
Trouver toutes les fonctions 
$f$ $2 \pi$-p\'eriodiques et de
classe $C^{\infty}$ sur $\mR$ telles que 
$Tf(x) = \cos(kx)$ pour tout $x \in \mR$.


\a Montrer que pour toute fonction  $f$ $2 \pi$-p\'eriodique, de
classe $C^{\infty}$ sur $\mR$ et de moyenne nulle sur $[0, 2 \pi]$, on a 
$$\int_0^{2 \pi} f^2(t) \;dt \;\leq\; \int_0^{2 \pi} f'^2(t)\; dt.$$
En d\'eduire que pour toute fonction  $f$ $2 \pi$-p\'eriodique et de
classe $C^{\infty}$ sur $\mR$, on a 
$$ \int_0^{2 \pi} f^2(t)\; dt \;\leq\; \int_0^{2 \pi} f'^2(t)\; dt + \frac{1}{2
  \pi} \left(  \int_0^{2 \pi} f(t) \;dt \right)^2.$$ 

\a La s\'erie trigonom\'etrique suivante est-elle une s\'erie de Fourier
$$\sum_{n=1}^{+ \infty}
 \frac{\cos(nx)}{\ln(n)}$$
d'une fonction Riemann-int\'egrable ?
\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/fourier}
\end{document}
















