Exercices d’Analyse de Fourier Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005 Feuille 6 13 mai 2005

1 Soit T l’opérateur différentiel agissant sur les fonctions trois fois dérivables sur ℝ défini par T = \frac{d^{3}}{dx^{3}} − \frac{d}{dx}. Soit k ∈ ℤ. Trouver toutes les fonctions f 2π-périodiques et de classe C^{∞} sur ℝ telles que T f(x) = cos(kx) pour tout x ∈ ℝ.

2 Montrer que pour toute fonction f 2π-périodique, de classe C^{∞} sur ℝ et de moyenne nulle sur [0, 2π], on a

∫_{0}^{2π} f^{2}(t) dt ≤ ∫_{0}^{2π} f^{′2}(t) dt.

En déduire que pour toute fonction f 2π-périodique et de classe C^{∞} sur ℝ, on a

∫_{0}^{2π} f^{2}(t) dt ≤ ∫_{0}^{2π} f^{′2}(t) dt + \frac{1}{2π} (∫_{0}^{2π} f(t) dt)^{2} .

3 La série trigonométrique suivante est-elle une série de Fourier

∑_{n=1}^{+∞} \frac{cos(nx)}{ln(n)}

d’une fonction Riemann-intégrable ?

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/fourier