\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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  pdftitle={Analyse de Fourier},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Analyse de Fourier\\Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005}

    Feuille 5  \hfill 28~mars 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soit $n\in \mN\cup \{0\}$. On d\'efinit $T_n:[-1,1]\to \mR$ par
  $$T_n(x):= \cos (n \arccos x).$$
Montrer que $T_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$.\\ 
\emph{(Indication. Montrer d'abord 
que $\cos((n+2)\al)+\cos (n\al)= 2 \cos ((n+1)\al)\cos \al$. 
En d\'eduire alors que 
$T_{n+2}(x)= 2 x T_{n+1}(x) - T_n(x)$)}.\\
On appelle $T_n$ le polyn\^ome de Tschebyscheff de degr\'e $n$. 

\a Soit 
  $$c(t):=\begin{pmatrix} x(t) \cr y(t) \end{pmatrix}
        :=\begin{pmatrix} \cos t\cr 2 \sin t \end{pmatrix}$$
pour tout $t\in \mR$. 
Montrer que $c$ est une courbe de Jordan lisse param\'etr\'ee.
Dessiner la courbe.
Montrer que sur l'intervalle $[0,\pi]$ la courbe $c$ parcourt
le graphe de la fonction
  $$g_1:[-1,1]\to \mR, x \mapsto 2 \sqrt{1-x^2}$$ 
et que sur l'intervalle 
$[\pi,2 \pi]$ la courbe $c$ parcourt 
le graphe de la fonction
  $$g_2:[-1,1]\to \mR, x \mapsto -2 \sqrt{1-x^2}.$$ 
En effectuant  un changement de variable, montrer que 
  $$\int_{-1}^1 (g_1(x) -g_2(x)) \,dx= - \int_0^{2\pi} x'(t)y(t)\, dt.$$ 
Calculer l'aire de la composante born\'ee de 
$\mR^2\setminus \{c(t)\,|\, t\in \mR\}$.
Utiliser l'in\'egalit\'e isop\'erim\'etrique pour en d\'eduire une borne 
inf\'erieure de $L(c)$.



\a Soit $\al \in \mR \setminus \mZ$. On d\'efinit la fonction $f_\al$ pour
$x \in \mathopen]-\pi, \pi]$ par $f_{\al}(x) = \cos(\al x)$. On prolonge $f_{\al}$
sur $\mR$ en
une fonction $2 \pi$-p\'eriodique. 

\begin{enumerate}[(a)]
\item Calculer la s\'erie de Fourier de $f_{\al}$. 
\item En d\'eduire que pour tout $t \in \mR \setminus \pi \mZ$, on a:
$$cotan(t)= \frac{1}{t} + 2t \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{t^2 - n^2 \pi^2}.$$

\item Soit $x \in ]0,\pi[$ et notons pour $t \in [0,x]$, $g(t)= cotan(t) -
  \frac{1}{t}$ si $t \not=0$ et $g(0)=0$. V\'erifier que $g$ est continue
  en $0$.
En int\'egrant $g$ entre $0$ et $x$ et en utilisant la question
pr\'ec\'edente, montrer que 
$$\int_0^x g(t) dt =
\sum_{n=1}^{+ \infty} \ln \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2} \right)$$
puis que 
$$ \ln \left(\frac{\sin(x)}{x} \right) =  
\sum_{n=1}^{+ \infty} \ln \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2} \right).$$

\item En d\'eduire que pour tout $x \in ]-\pi, \pi[$, on a 
$$ \sin(x) = x \lim_{N \to +\infty} \prod_{n=1}^{N}\left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}
\right).$$
\end{enumerate}

\a Soit $V$ un espace vectoriel, et $\<.,.\>:V\times V\to \mR$
une application bilin\'eaire sym\'etrique.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Argumenter que
  $$W:=\{w\in V\,|\, \<v,w\>=0 \mbox{ pour tout }v\in V\}$$
est un sous espace vectoriel, et
rappeler la structure vectorielle de l'espace quotient $U:=V/W$.
Soit $\pi:V\to U$ la projection canonique.
\item Montrer qu'il existe une application bilin\'eaire sym\'etrique
$(.,.):U\times U\to \mR$, telle que
  $$(\pi(X),\pi(Y))=\<X,Y\>$$
pour tout $X,Y\in V$.
\item Montrer que si $Z\in U$ avec $(Z,A)=0$ pour tout $A\in U$, alors
$Z=0$.
\end{enumerate}

\a On pose, pour tout $t \in ]-\pi, \pi]$, $f(t)= t(\pi^2 - t^2)$ et on
prolonge $f$ sur $\mR$ en une fonction $2\pi$-p\'eriodique.
D\'eterminer la s\'erie de Fourier de $f$ et en d\'eduire les valeurs des
s\'eries num\'eriques $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{(2n+1)^3}$ et 
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^6}$.

\a Soit $f$ $2 \pi$ - p\'eriodique telle que pour  $x \in [0, 2 \pi[$,
$f(x) =  \exp(a x)$ o\`u $a \in \mR^*$ est un r\'eel non nul fix\'e.

\begin{enumerate}[(a)]
\item Calculer la s\'erie de Fourier de $f$.
\item Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction $g(x) =\frac{f(x)
     -f(-x)}{2}$ en fonction de ceux de $f$.
\item Calculer pour $x\in \mR$, $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n \sin(nx)}{a^2
    + n^2}$.
\item Calculer pour $ \sum_{n=1}^{+\infty}  \frac{n^2 }{(a^2 + n^2)^2 }$.
\item Montrer que 
$$\lim_{a \to 0}  \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 }{(a^2 + n^2)^2 } =
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}.$$
\item En d\'eduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}.$
\end{enumerate}


%\a D\'eterminer la s\'erie de Fourier de la fonction $f$ d\'efinie pour
%$x \in \mR$ par $f(x)= |\sin^3(x)|$. En d\'eduire la valeur de 
%$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(4n^2 -1) (4 n^2 -9)}$. En d\'eduire aussi
%la s\'erie de Fourier de la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)= \sup(0,
%\sin^3(x))$.

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/fourier}
\end{document}
















