Exercices d’Analyse de Fourier Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005 Feuille 5 28 mars 2005

1 Soit n ∈ ℕ ∪ {0}. On définit T_{n} : [−1, 1] → ℝ par

T_{n}(x) := cos(n arccos x).

Montrer que T_{n} est un polynôme de degré n. (Indication. Montrer d’abord que cos((n+2)α)+cos(nα) = 2 cos((n+1)α) cos α. En déduire alors que T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) − T_{n}(x)). On appelle T_{n} le polynôme de Tschebyscheff de degré n.

2 Soit

c(t) := (\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}) := (\begin{matrix}cos t \\ 2 sin t \end{matrix})

pour tout t ∈ ℝ. Montrer que c est une courbe de Jordan lisse paramétrée. Dessiner la courbe. Montrer que sur l’intervalle [0, π] la courbe c parcourt le graphe de la fonction

g_{1} : [−1, 1] → ℝ, x ↦ 2\sqrt{1 − x^{2}}

et que sur l’intervalle [π, 2π] la courbe c parcourt le graphe de la fonction

g_{2} : [−1, 1] → ℝ, x ↦ −2\sqrt{1 − x^{2}}.

En effectuant un changement de variable, montrer que

∫_{−1}^{1}(g_{1}(x) − g_{2}(x)) dx = − ∫_{0}^{2π} x′(t)y(t) dt.

Calculer l’aire de la composante bornée de ℝ^{2} \ {c(t) | t ∈ ℝ}. Utiliser l’inégalité isopérimétrique pour en déduire une borne inférieure de L(c).

3 Soit α ∈ ℝ \ ℤ. On définit la fonction f_{α} pour x ∈ ]−π, π] par f_{α}(x) = cos(αx). On prolonge f_{α} sur ℝ en une fonction 2π-périodique.

(a) Calculer la série de Fourier de f_{α}.

(b) En déduire que pour tout t ∈ ℝ \ πℤ, on a:

cotan(t) = \frac{1}{t} + 2t ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{t^{2} − n^{2}π^{2}} .

(c) Soit x ∈]0, π[ et notons pour t ∈ [0, x], g(t) = cotan(t) − \frac{1}{t} si t ≠ 0 et g(0) = 0. Vérifier que g est continue en 0. En intégrant g entre 0 et x et en utilisant la question précédente, montrer que

∫_{0}^{x} g(t)dt = ∑_{n=1}^{+∞} ln (1 − \frac{x^{2}}{π^{2}n^{2}} )

puis que

ln (\frac{sin(x)}{x}) = ∑_{n=1}^{+∞} ln (1 − \frac{x^{2}}{π^{2}n^{2}} ) .

(d) En déduire que pour tout x ∈] − π, π[, on a

sin(x) = x lim_{N→+∞} ∏_{n=1}^{N} (1 − \frac{x^{2}}{n^{2}π^{2}} ) .

4 Soit V un espace vectoriel, et ⟨., .⟩ : V × V → ℝ une application bilinéaire symétrique.

(a) Argumenter que

W := {w ∈ V | ⟨v, w⟩ = 0 pour tout v ∈ V }

est un sous espace vectoriel, et rappeler la structure vectorielle de l’espace quotient U := V/W. Soit π : V → U la projection canonique.

(b) Montrer qu’il existe une application bilinéaire symétrique (., .) : U × U → ℝ, telle que

(π(X), π(Y)) = ⟨X, Y ⟩

pour tout X, Y ∈ V.

(c) Montrer que si Z ∈ U avec (Z, A) = 0 pour tout A ∈ U, alors Z = 0.

5 On pose, pour tout t ∈] − π, π], f(t) = t(π^{2} − t^{2}) et on prolonge f sur ℝ en une fonction 2πpériodique. Déterminer la série de Fourier de f et en déduire les valeurs des séries numériques ∑_{n=1}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n+1)^{3}} et ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{6}} .

6 Soit f 2π - périodique telle que pour x ∈ [0, 2π[, f(x) = exp(ax) où a ∈ ℝ^{∗} est un réel non nul fixé.

(a) Calculer la série de Fourier de f.

(b) Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction g(x) = \frac{f(x)−f(−x)}{2} en fonction de ceux de f.

(c) Calculer pour x ∈ ℝ, ∑_{n=1}^{+∞} \frac{n sin(nx)}{a^{2}+n^{2}}.

(d) Calculer pour ∑_{n=1}^{+∞} \frac{n^{2}}{(a^{2}+n^{2})^{2}} .

(e) Montrer que

lim_{a→0} ∑_{n=1}^{+∞} \frac{n^{2}}{(a^{2} + n^{2})^{2}} = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} .

(f) En déduire la valeur de ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} .

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/fourier