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  pdftitle={Analyse de Fourier},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Analyse de Fourier\\Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005}

    Feuille 4  \hfill 21~mars 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item D\'eterminez tous les 
$t\in \mR$, tels que $\sum_{n\in \mN} \frac{\cos(2nt)}{n}$ converge.
\item   Montrer que $\sum_{n\in \mN} \frac{\cos^2( nt)}{n}$ diverge 
pour tout $t\in \mR$.
\item La s\'erie 
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\cos(nt)|}{n}$ est-elle convergente?
\end{enumerate}

\a 
Soit $f$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique, impaire et d\'efinie
par $f(x)= x(\pi-x)$ pour $x\in[0,\pi]$.
Calculer ses coefficients de Fourier. En d\'eduire la somme de la s\'erie 
$\sum_{n\in \mN} \frac{(-1)^n }{(2n+1)^3}$. 

\a 
Soient  $f_a,f_b,f_c:\mR\to \mR$ les fonctions 
$2\pi$-p\'eriodiques qui satisfont
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $f_a(x)=x^4$ pour $-\pi\leq x < \pi$
\item $f_b(x)=x^4$ pour $0\leq x < 2\pi$
\item $f_c(x)=x^3$ pour  $-\pi\leq x < \pi$
\end{enumerate}
Montrez que $f_a$, $f_b$ et $f_c$ sont int\'egrables au sens de Riemann.
Calculez les coefficients de Fourier. Montrez que les s\'eries de Fourier
convergent (Attention aux points $x=0$ et $x=\pi$!) simplement vers des
fonctions $g_a$, $g_b$ et $g_c$ que l'on d\'eterminera. 
La convergence est-elle est uniforme?



\a Soit $f_n:[0,2\pi[\to \mR$ donn\'ee par
  $$f_n(x):=\left\{\begin{matrix}
                      0 \hfill &\mbox{pour $x=0$}\hfill\\
                      \sqrt[4]{n} \hfill &\mbox{pour $0<x\leq{1\over n}$}\hfill\\
                     \frac1{\sqrt[4]{x}} \hfill &\mbox{pour ${1\over n}<x<2\pi$}\hfill\\
                   \end{matrix}\right.$$
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Dessinez le graphe de $f_n$ pour $n=1,2,3$.
\item Montrez que $f_n\in {\cal R}([0,2\pi[)$ et que 
$(\< f_n,f_n\>)_{n\in \mN}$ est une suite born\'ee.
\item Montrez que $(f_n)_{n\in \mN}$ converge simplement vers une fonction $f$ que l'on d\'eterminera. 
La convergence est-elle  uniforme? 
\item Les fonctions  $f$ et $f^2$ sont-elles  int\'egrables au sens de Riemann propre?
Les int\'egrales  $\int_0^{2\pi}f(x)\,dx$ et $\int_0^{2\pi}f^2(x)\,dx$
existent-elles  
au sens impropre? Si oui, calculez leur valeur.
\item Montrez que pour tout $\ep>0$ il existe un $N(\ep)\in \mN$ tel que
 pour tout $k\geq l\geq N(\ep)$ on a 
  $$\<f_k-f_l,f_k-f_l\><\ep.$$
{\it On dit que $(f_n)_{n\in \mN}$ est une suite de Cauchy dans  
$\Big({\cal R}([0,2\pi[),\<.,.\>\Big)$.}
\item Montrez qu'il n'y a pas de $g\in {\cal R}([0,2\pi[)$ tel que
  $$\lim_{n\to \infty} \<g-f_n,g-f_n\>=0.$$
{\it On dit que  $(f_n)_{n\in \mN}$ est une suite de Cauchy non-convergente.}
\end{enumerate}

\a Soit $\la \in ]-1,1[$. On d\'efinit pour tout $x \in \mR$  


$$f(x)= \frac{1}{\la^2 - 2 \la \cos x + 1}.$$

\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item V\'erifiez que $f$ est bien d\'efinie sur $\mR$, qu'elle est de plus
  continue, paire et $2 \pi$-p\'eriodique.
\item Que valent les coefficients de Fourier $(b_n)_n$ de $f$?
\item Calculez le coefficient de Fourier $a_0$ de $f$ (on effectuera le
  changement de variable $u= \tan(x/2)$). 
\item En utilisant la question pr\'ec\'edente, calculez le coefficient de
  Fourier $a_1$ de $f$.
\item Soit $n \in \mN \cup \{0 \}$ et $x \in \mR$. Montrez que 
$$\cos((n+2)x) + \cos(nx)  = 2 \cos((n+1)x) \cos(x).$$
D\'eduisez-en une relation de r\'ecurrence sur les coefficients  de Fourier
$(a_n)_n$ de $f$.
% v\'erifient
%pour tout $n \geq 0$: $\la a_{n+2} - (\la^2 + 1) a_{n+1} + \la a_n = 0$.
\item Montrez que pour tout $n \geq 1$, $a_n = \frac{2 \la^n}{1-\la^2}$.
 \end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/fourier}
\end{document}
















