Exercices d’Analyse de Fourier Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005 Feuille 4 21 mars 2005

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(a) Déterminez tous les t ∈ ℝ, tels que ∑_{n∈ℕ} \frac{cos(2nt)}{n} converge.

(b) Montrer que ∑_{n∈ℕ} \frac{cos^{2}(nt)}{n} diverge pour tout t ∈ ℝ.

(c) La série ∑_{n=1}^{+∞} \frac{| cos(nt)|}{n} est-elle convergente?

2 Soit f une fonction 2π-périodique, impaire et définie par f(x) = x(π − x) pour x ∈ [0, π]. Calculer ses coefficients de Fourier. En déduire la somme de la série ∑_{n∈ℕ} \frac{(−1)^{n}}{(2n+1)^{3}} .

3 Soient f_{a}, f_{b}, f_{c} : ℝ → ℝ les fonctions 2π-périodiques qui satisfont (a) f_{a}(x) = x^{4} pour −π ≤ x < π

(b) f_{b}(x) = x^{4} pour 0 ≤ x < 2π

(c) f_{c}(x) = x^{3} pour −π ≤ x < π Montrez que f_{a}, f_{b} et f_{c} sont intégrables au sens de Riemann. Calculez les coefficients de Fourier. Montrez que les séries de Fourier convergent (Attention aux points x = 0 et x = π!) simplement vers des fonctions g_{a}, g_{b} et g_{c} que l’on déterminera. La convergence est-elle est uniforme?

4 Soit f_{n} : [0, 2π[→ ℝ donnée par

f_{n}(x) := \begin{cases}0 & pour x = 0 \\ \sqrt[4]{n} & pour 0 < x ≤ \frac{1}{n} \\ \frac{1}{\sqrt[4]{x}} & pour \frac{1}{n} < x < 2π \end{cases}

(a) Dessinez le graphe de f_{n} pour n = 1, 2, 3.

(b) Montrez que f_{n} ∈ R([0, 2π[) et que (⟨f_{n}, f_{n}⟩)_{n∈ℕ} est une suite bornée.

(c) Montrez que (f_{n})_{n∈ℕ} converge simplement vers une fonction f que l’on déterminera. La convergence est-elle uniforme?

(d) Les fonctions f et f^{2} sont-elles intégrables au sens de Riemann propre? Les intégrales ∫_{0}^{2π} f(x) dx et ∫_{0}^{2π} f^{2}(x) dx existent-elles au sens impropre? Si oui, calculez leur valeur.

(e) Montrez que pour tout ε > 0 il existe un N(ε) ∈ ℕ tel que pour tout k ≥ l ≥ N(ε) on a

⟨f_{k} − f_{l}, f_{k} − f_{l}⟩ < ε.

On dit que (f_{n})_{n∈ℕ} est une suite de Cauchy dans (R([0, 2π[), ⟨., .⟩).

(f) Montrez qu’il n’y a pas de g ∈ R([0, 2π[) tel que

lim_{n→∞}⟨g − f_{n}, g − f_{n}⟩ = 0.

On dit que (f_{n})_{n∈ℕ} est une suite de Cauchy non-convergente.

5 Soit λ ∈] − 1, 1[. On définit pour tout x ∈ ℝ

f(x) = \frac{1}{λ^{2} − 2λ cos x + 1}.

(a) Vérifiez que f est bien définie sur ℝ, qu’elle est de plus continue, paire et 2π-périodique.

(b) Que valent les coefficients de Fourier (b_{n})_{n} de f?

(c) Calculez le coefficient de Fourier a_{0} de f (on effectuera le changement de variable u = tan(x/2)).

(d) En utilisant la question précédente, calculez le coefficient de Fourier a_{1} de f.

(e) Soit n ∈ ℕ ∪ {0} et x ∈ ℝ. Montrez que

cos((n + 2)x) + cos(nx) = 2 cos((n + 1)x) cos(x).

Déduisez-en une relation de récurrence sur les coefficients de Fourier (a_{n})_{n} de f.

(f) Montrez que pour tout n ≥ 1, a_{n} = \frac{2λ^{n}}{1−λ^{2}} .

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/fourier