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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Analyse de Fourier\\Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005}

    Feuille 3  \hfill  1er \ mars 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soit  $f : \mR \to \mC$ une fonction continue telle que 
pour tout $x,y \in \mR$, 
$$f(x+y) = f(x)f(y). \eqno{(*)}$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item On suppose que $f(0)=0$. Que peut-on dire de $f$?
\item \`A partir de maintenant, on suppose que $f(0)\not= 0$. 
Montrez que $f$ ne s'annule jamais.
\item Montrez qu'on peut trouver $a,b \in \mR$, $a<b$ tels que 
$\int_a^b f(t) dt \not= 0$.
\item Montrez que pour tout $x\in \mR$,
$$f(x) = \frac{\int_{a+x}^{b+x} f(t) dt}{\int_a^b f(t) dt}.$$
En d\'eduire que $f$ est d\'erivable sur $\mR$.
\item Montrez qu'il existe $\alpha \in \mC$ tel que pour tout $x \in \mR$, 
$f(x) = e^{\alpha x}$.\\
\end{enumerate}

\a Soit $(\gamma_n)$ une suite  r\'eelle d\'ecroissante telle que $\lim_n
\gamma_n = 
0$. On pose pour $x \in \mR$,
$$f(x) =  \sum_{n\geq 1} \gamma_n\sin nx.$$ 
On suppose que $f$ est int\'egrable au sens de Riemann sur $[0, 2 \pi]$.
\begin{enumerate}[\rm (a)]
\item Rappelez bri\`evement pourquoi  $f$ est d\'efinie sur $\mR$ et continue
  sur $]0,2\pi[$.
\item Calculez les coefficients de Fourier $(a_n)$ ($n \geq 0$) de $f$.
\item Soit maintenant $k \in \mN$ fix\'e. Montrer que la fonction 
$x \mapsto \frac{\sin (kx)}{\sin (x/2)}$ est born\'ee sur $\mR \setminus 2 \pi
\mZ$.
\item Montrez que la s\'erie 
$$\sum_{n\geq 1} \gamma_n\sin nx \sin kx$$
converge uniform\'ement sur $\mR$.
\item Calculez les coefficients de Fourier $(b_n)$ ($n \geq 1$) de $f$.
\end{enumerate}

\a Soit $(a_n)$ une suite r\'eelle.  On
pose pour tout $n$,
$$b_n = \frac{a_1+a_2+\cdots+ a_n}{n}.$$
\begin{enumerate}[\rm (a)] 
\item On suppose que $(a_n)$ est convergente de limite $l \in \mR$. 
Montrez que $\lim_n b_n = l$.
\item On suppose que $(b_n)$ est convergente. Peut-on dire que $(a_n)$
  l'est aussi?
\end{enumerate}

\a Soit  $N \in \mN$. Soit aussi les fonctions d\'efinies par 
$$f(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \alpha_n(x)
\; \hbox{ et } \; 
f_N(x) = \frac{1}{x} +\sum_{n=1}^N \alpha_n(x)$$
o\`u pour tout $n \in \mN$ et $x \in \mR \setminus \{n\}$, $\alpha_n(x)= \frac{2x}{x^2 - n^2}$.
\begin{enumerate}[(a)]

\item Montrez que $f$ est d\'efinie et continue sur $]0,1[$.
  
\item Pour  $N \in \mN$ et $x \in \mR \setminus \mZ$, montrez que  
$$f_N(x) = \sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}.$$

\item Montrez que $f$ est p\'eriodique de p\'eriode 1. Quel est le domaine
  de d\'efinition de $f$? 

\item On rappelle que (voir exercice 3, feuille 2) 
$\sum_{n \geq 1} \frac{\sin nx}{n} = \frac{1}{2}(\pi - x)$ pour tout $x \in
]0,2\pi[$. En d\'eduire que 
 $$\sum_{n \in \mN} \frac{(-1)^n}{2n+1} =
\frac{\pi}{4}.$$  

\item Calculez les valeurs de  $f(1/2)$ et $f(1/4)$.
\end{enumerate}
\a Soit $V$ le sous-espace vectoriel (r\'eel) de ${\cal R}([0,2\pi[)$ engendr\'e
par $C_0$, $C_1$, $C_2$, $S_1$ et $S_2$. 
On d\'efinit 
  $$V^\perp:=\left\{f\in {\cal R}([0,2\pi[)\,|\, (f,g)=0 \mbox{\ pour tout\ }g\in V\right\}.$$ 

\begin{enumerate}[\rm (a)]
\item D\'eterminez la dimension de $V$ et de $V^\perp$.
\item Soit $f:[0,2\pi[\to \mR$, $f(x)=\pi-x$. Trouvez des fonctions $f_1\in V$ 
et $f_2\in V^\perp$ tel que 
  $$f=f_1+f_2.$$
\item Les fonctions $f_1$ et $f_2$ de la question (b) sont-elles uniques?
\end{enumerate}






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\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/fourier}
\end{document}
















