Exercices d’Analyse de Fourier Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005 Feuille 3 1er mars 2005

1 Soit f : ℝ → ℂ une fonction continue telle que pour tout x, y ∈ ℝ,

f(x + y) = f(x)f(y).  (∗)

(a) On suppose que f(0) = 0. Que peut-on dire de f?

(b) À partir de maintenant, on suppose que f(0) ≠ 0. Montrez que f ne s’annule jamais.

(c) Montrez qu’on peut trouver a, b ∈ ℝ, a < b tels que ∫_{a}^{b} f(t)dt ≠ 0.

(d) Montrez que pour tout x ∈ ℝ,

f(x) = \frac{∫_{a+x}^{b+x} f(t)dt}{∫_{a}^{b} f(t)dt}.

En déduire que f est dérivable sur ℝ.

(e) Montrez qu’il existe α ∈ ℂ tel que pour tout x ∈ ℝ, f(x) = e^{αx}.

2 Soit (γ_{n}) une suite réelle décroissante telle que lim_{n} γ_{n} = 0. On pose pour x ∈ ℝ,

f(x) = ∑_{n≥1} γ_{n} sin nx.

On suppose que f est intégrable au sens de Riemann sur [0, 2π].

(a) Rappelez brièvement pourquoi f est définie sur ℝ et continue sur ]0, 2π[.

(b) Calculez les coefficients de Fourier (a_{n}) (n ≥ 0) de f.

(c) Soit maintenant k ∈ ℕ fixé. Montrer que la fonction x ↦ \frac{sin(kx)}{sin(x/2)} est bornée sur ℝ \ 2πℤ.

(d) Montrez que la série

∑_{n≥1} γ_{n} sin nx sin kx

converge uniformément sur ℝ.

(e) Calculez les coefficients de Fourier (b_{n}) (n ≥ 1) de f.

3 Soit (a_{n}) une suite réelle. On pose pour tout n,

b_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} .

(a) On suppose que (a_{n}) est convergente de limite l ∈ ℝ. Montrez que lim_{n} b_{n} = l.

(b) On suppose que (b_{n}) est convergente. Peut-on dire que (a_{n}) l’est aussi?

4 Soit N ∈ ℕ. Soit aussi les fonctions définies par

f(x) = \frac{1}{x} + ∑_{n=1}^{+∞} α_{n}(x) et f_{N}(x) = \frac{1}{x} + ∑_{n=1}^{N} α_{n}(x)

où pour tout n ∈ ℕ et x ∈ ℝ \ \{n\}, α_{n}(x) = \frac{2x}{x^{2}−n^{2}} .

(a) Montrez que f est définie et continue sur ]0, 1[.

(b) Pour N ∈ ℕ et x ∈ ℝ \ ℤ, montrez que

f_{N}(x) = ∑_{n=−N}^{N} \frac{1}{x + n}.

(c) Montrez que f est périodique de période 1. Quel est le domaine de définition de f?

(d) On rappelle que (voir exercice 3, feuille 2) ∑_{n≥1} \frac{sin nx}{n} = \frac{1}{2}(π − x) pour tout x ∈]0, 2π[.

En déduire que

∑_{n∈ℕ} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1} = \frac{π}{4} .

(e) Calculez les valeurs de f(1/2) et f(1/4).

5 Soit V le sous-espace vectoriel (réel) de R([0, 2π[) engendré par C_{0}, C_{1}, C_{2}, S_{1} et S_{2}. On

définit

V^{⊥} := {f ∈ R([0, 2π[) | (f, g) = 0 pour tout g ∈ V } .

(a) Déterminez la dimension de V et de V^{⊥}.

(b) Soit f : [0, 2π[→ ℝ, f(x) = π − x. Trouvez des fonctions f_{1} ∈ V et f_{2} ∈ V^{⊥} tel que f = f_{1} + f_{2}.

(c) Les fonctions f_{1} et f_{2} de la question (b) sont-elles uniques?

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/fourier