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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Analyse de Fourier\\Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005}

    Feuille 2  \hfill  10.\ f\'evrier 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a D\'eterminez les coefficients de Fourier et les s\'eries de Fourier
des fonctions suivantes
\begin{enumerate}[\rm (a)]
\item $f:[0,2\pi [\to \mR$, $f(x)=1+ \sin (289 x)$
\item $f:[0,2\pi[\to \mR$, $f(x)=x-\pi$
\item $f:[0,2\pi[\to \mR$, $f(x)=1$ pour $x\in [0,\pi[$ et $f(x)=-1$ pour 
$x\in \mathopen[\pi,2\pi[$.
\item  $f:[0,2\pi[\to \mR$, $f(x)=\sum_{k=1}^\infty {\sin (kx)\over k^2}$
\end{enumerate}

\a Pour $a\in \mC$ on d\'efinit
$f_a:\mR\to \mC$, $f_a(x):=e^{ax}$. L'ensemble des fonctions 
$\mR\to \mC$ muni de l'addition standard et de la 
multiplication scalaire standard
est un espace vectoriel complexe, et les $f_a$ sont des vecteurs 
dans cet espace.

Montrez que la famille $(f_a)_{a\in \mC}$ est libre.



\a Pour $x \in \mR$, on d\'efinit $f(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}
\frac{\sin(nx)}{n}$.

\begin{enumerate}[\rm (a)]
\item Montrez que $f$ est
d\'efinie sur $\mR$ et continue sur $]0,2 \pi[$.

\item Montrez que $f$ est $2 \pi$-p\'eriodique et \'etudiez sa
parit\'e.\\

\item  Soit $N \in \mN$ et $x \in ]0,2 \pi[$. On pose 
$f_N(x)= \sum_1^N \frac{\sin(nx)}{n}$. En calculant 
$$\Re e\left( \int_\pi^x \sum_1^N  e^{int} dt\right)$$
de deux mani\`eres, montrez que 
 $$f_N(x)= \int_{\pi}^x \Re e \left(\frac{e^{it} - e^{i(N+1)t}}{1- e^{it}}
 \right) dt.$$

\item En utilisant 
%le lemme de Riemann-Lebesgue
le th\'eor\`eme de Lebesgue, calculez $f(x)$.

\item La s\'erie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$ est-elle
uniform\'ement convergente sur $\mR$?

\end{enumerate} 

\a \begin{enumerate}[\rm (a)]
\item Montrez que pour tout $t \in
]0,2 \pi[$,
$$1+2\sum_{n=1}^N \cos(nt) =
\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}. \eqno{(*)}$$
 
\item En int\'egrant cette expression entre $\pi$ et $x$ (o\`u
$x \in
]0,2 \pi[$) et en utilisant 
%le lemme de Riemann-Lebesgue, 
le th\'eor\`eme de Lebesgue,
retrouvez les
r\'esultats de l'exercice pr\'ec\'edent.\\

\item  Montrez que 
$$\lim_{N \to +\infty} \left( \int_0^{\pi}
\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})} dt -
\int_0^{\pi} \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\frac{t}{2}} dt \right) =0. $$


\item En revenant \`a l'expression $(*)$, en d\'eduire que 
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(u)}{u} du = \frac{\pi}{2}. $$
 
\end{enumerate}


\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/fourier}
\end{document}
















