Exercices d’Analyse de Fourier Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005 Feuille 2 10. février 2005

1 Déterminez les coefficients de Fourier et les séries de Fourier des fonctions suivantes (a) f : [0, 2π[→ ℝ, f(x) = 1 + sin(289x)

(b) f : [0, 2π[→ ℝ, f(x) = x − π

(c) f : [0, 2π[→ ℝ, f(x) = 1 pour x ∈ [0, π[ et f(x) = −1 pour x ∈ [π, 2π[.

(d) f : [0, 2π[→ ℝ, f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k^{2}}

2 Pour a ∈ ℂ on définit f_{a} : ℝ → ℂ, f_{a}(x) := e^{ax}. L’ensemble des fonctions ℝ → ℂ muni de l’addition standard et de la multiplication scalaire standard est un espace vectoriel complexe, et les f_{a} sont des vecteurs dans cet espace. Montrez que la famille (f_{a})_{a∈ℂ} est libre.

3 Pour x ∈ ℝ, on définit f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin(nx)}{n}.

(a) Montrez que f est définie sur ℝ et continue sur ]0, 2π[.

(b) Montrez que f est 2π-périodique et étudiez sa parité.

(c) Soit N ∈ ℕ et x ∈]0, 2π[. On pose f_{N}(x) = ∑_{1}^{N} \frac{sin(nx)}{n}. En calculant

ℜe (∫_{π}^{x} ∑_{1}^{N} e^{int}dt)

de deux manières, montrez que

f_{N}(x) = ∫_{π}^{x} ℜe (\frac{e^{it} − e^{i(N+1)t}}{1 − e^{it}} ) dt.

(d) En utilisant le théorème de Lebesgue, calculez f(x).

(e) La série ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin(nx)}{n} est-elle uniformément convergente sur ℝ?

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(a) Montrez que pour tout t ∈]0, 2π[,

1 + 2 ∑_{n=1}^{N} cos(nt) = \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})}.  (∗)

(b) En intégrant cette expression entre π et x (où x ∈]0, 2π[) et en utilisant le théorème de Lebesgue, retrouvez les résultats de l’exercice précédent.

(c) Montrez que

lim_{N→+∞} (∫_{0}^{π} \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})}dt − ∫_{0}^{π} \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{\frac{t}{2}}dt) = 0.

(d) En revenant à l’expression (∗), en déduire que

∫_{0}^{+∞} \frac{sin(u)}{u}du = \frac{π}{2} .

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/fourier