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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Analyse de Fourier\\Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005}

    Feuille 1  \hfill  31.\ Janvier 2005}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Dites si les s\'eries suivantes sont divergentes, convergentes, absolument convergentes ou semi-convergentes:
$$
\begin{matrix}
 (a) \sum_{n\geq 1}{1\over n+1} & (b) \sum_{n\geq 2} {n+2\over n^3-1} 
    & (c)  \sum_{n\geq 2} {(-1)^{n+1}\over \ln (n)} 
    & (d) \sum_{n\geq 2} {(-1)^{n^2+1}\over n \ln (n)}\\ 
 (e) \sum_{n \geq 1} \sin \left({1\over n^n}\right)
   & (f) \sum_{n\geq 1} {2^n\over n!} 
   & (g) \sum_{n\geq 1} \ln\left({n^3+5\over n^3+1}\right)
   & (h) \sum_{n\geq 1} \left({n^{2005} + n \over n^{2005}+1}\right)^{n^{2005}} 
\end{matrix}
$$

\a Dites si les suites de fonctions suivantes convergent simplement 
(resp. uniform\'ement)?
%Si oui, quelle est la fonction limite?
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f_n(x) = e^{-nx}$ sur $[0,1]$;
\item $f_n(x) = e^{-nx}$ sur $[1,+\infty[$;
\item $f_n(x) = \sum_{k=1}^n {\sin (kx)\over k^2}$ sur $\mR$.
\end{enumerate}

\a Soit $f: \mR \to \mR$ une fonction continue $2\pi$-p\'eriodique.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrez que pour tout $a \in \mR$,
 $$\int_{a}^{a+2\pi} f(t) dt = \int_{0}^{2\pi} f(t) dt.$$

\item Montrez que $f$ est la d\'eriv\'ee d'une fonction $2\pi$-p\'eriodique
  si et seulement si 
$$ \int_{0}^{2\pi} f(t) dt=0.$$
\end{enumerate}


\a Soit $n$, $m$ deux entiers positifs ou nuls. Calculez
  $$\int_0^{2\pi}\cos (nx) \sin (mx)\, dx$$
  $$\int_0^{2\pi} \sin (nx) \sin (mx) \, dx$$
  $$\int_0^{2\pi}\cos (nx) \cos (mx)\, dx$$
Faites attention aux cas $n=m$, $n=0$ et $m=0$. 

\a Soit $f: \mR \to \mR$ une fonction p\'eriodique% continue%
. On suppose que
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Que peut-on dire de $f$?

\a Soit $f: \mR \to \mR$ une fonction p\'eriodique. On note 
$$G= \{ a \in \mR \,|\, \forall x\in \mR, f(x+a)= f(x)\}.$$
L'ensemble $G$ est appel\'e {\it groupe des p\'eriodes de} $f$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que si $a,b \in G$, alors $a+b \in G$.
\item Montrer que si $a \in G$, alors pour tout $n \in \mZ$, $na \in G$.
\item On suppose qu'il existe une plus petite p\'eriode $T>0$ de $f$,
  c'est-\`a-dire qu'il existe $T \in G$, $T>0$ tel que $\inf G \cap
  ]0,+\infty[  =
  T$. Montrer que $G= T \mZ$.
\end{enumerate}


%\a Calculer le rayon de convergence de 
%\begin{enumerate}[(a)]
%\item $\sum_{n\geq 2} {x^n\over (\ln(n))^2}$
%\item $\sum_{n\geq 0} {x^n\over n!}$
%\end{enumerate}



\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/fourier}
\end{document}
















