Exercices d’Analyse de Fourier

Bernd Ammann et Emmanuel Humbert, 2005

Feuille 1 31. Janvier 2005

1 Dites si les séries suivantes sont divergentes, convergentes, absolument convergentes ou semiconvergentes:

(a) ∑_{n≥1} \frac{1}{n+1} (b) ∑_{n≥2} \frac{n+2}{n^{3}−1} (c) ∑_{n≥2} \frac{(−1)^{n+1}}{ln(n)}  (d) ∑_{n≥2} \frac{(−1)^{n^{2}+1}}{n ln(n)}
(e) ∑_{n≥1} sin (\frac{1}{n^{n}} ) (f) ∑_{n≥1} \frac{2^{n}}{n!} (g) ∑_{n≥1} ln (\frac{n^{3}+5}{n^{3}+1}) (h) ∑_{n≥1} (\frac{n^{2005}+n}{n^{2005}+1})^{n^{2005}}

2 Dites si les suites de fonctions suivantes convergent simplement (resp. uniformément)?

(a) f_{n}(x) = e^{−nx} sur [0, 1];
(b) f_{n}(x) = e^{−nx} sur [1, +∞[;
(c) f_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k^{2}} sur ℝ.

3 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue 2π-périodique.

(a) Montrez que pour tout a ∈ ℝ,

∫_{a}^{a+2π} f(t)dt = ∫_{0}^{2π} f(t)dt.

(b) Montrez que f est la dérivée d’une fonction 2π-périodique si et seulement si

∫_{0}^{2π} f(t)dt = 0.

4 Soit n, m deux entiers positifs ou nuls. Calculez

∫_{0}^{2π} cos(nx) sin(mx) dx
∫_{0}^{2π} sin(nx) sin(mx) dx
∫_{0}^{2π} cos(nx) cos(mx) dx

Faites attention aux cas n = m, n = 0 et m = 0.

5 Soit f : ℝ → ℝ une fonction périodique. On suppose que lim_{x→+∞} f(x) = 0. Que peut-on dire de f?

6 Soit f : ℝ → ℝ une fonction périodique. On note

G = {a ∈ ℝ | ∀x ∈ ℝ, f(x + a) = f(x)}.

L’ensemble G est appelé groupe des périodes de f.

(a) Montrer que si a, b ∈ G, alors a + b ∈ G.

(b) Montrer que si a ∈ G, alors pour tout n ∈ ℤ, na ∈ G.

(c) On suppose qu’il existe une plus petite période T > 0 de f, c’est-à-dire qu’il existe T ∈ G, T > 0 tel que inf G∩]0, +∞[= T. Montrer que G = T ℤ.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/fourier