Etwas Topologie

Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann

Literatur

Abraham, Marsden, Foundations of Mechanics, Addison Wesley 1978, Seiten 3–17

Definition. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O), wobei X eine Menge ist und O eine Menge von Teilmengen von X, so daß folgende Axiome gelten

i) ∅ ∈ O, X ∈ O,

ii) U_{1}, U_{2} ∈ O ⇒ U_{1} ∩ U_{2} ∈ O,

iii) U_{j} ∈ O für j ∈ J, J beliebige Indexmenge ⇒ ⋃_{j∈J} U_{j} ∈ O.

Die Elemente von O heißen offene Teilmengen von X. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist, d. h. X − A ∈ O. Die Menge O nennt man die Topologie von X.

Beispiele. 1.) X beliebige Menge, O = Potenzmenge von X, d. h. jede Teilmenge von X ist offen. O heißt dann

diskrete Topologie auf X.

2.) X beliebige Menge, O = {∅, X}. O heißt dann Klumpentopologie.

3.) X = ℝ^{n}, O = {U ⊂ ℝ | ∀x ∈ U ∃r > 0 s. d. B_{r}(x) ⊂ U}. Dabei ist B_{r}(x) := {y ∈ ℝ^{n} | ∥x − y∥ < r} der offene Ball um x von Radius r. O ist die Standardtopologie des ℝ^{n}.

4.) (X, O) topologischer Raum, Y ⊂ X Teilmenge. Dann heißt O_{Y} = {U ∩ Y | U ∈ O} Teilraumtopologie von Y (oder auch Relativtopologie).

5.) Seien (X, O_{X}) und (Y, O_{Y}) topologische Räume. Die Produkttopologie von X × Y ist definiert durch

O = {U ⊂ X × Y | ∃V_{i} ∈ O_{X}, W_{i} ∈ O_{Y} s. d. U = ⋃_{i} V_{i} × W_{i}} .

6.) Sei (X, O) ein topologischer Raum, sei ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf X. Dann trägt die Menge aller Äquivalenzklassen X/ ∼ = {[x] | x ∈ X} die Quotiententopologie Õ, die folgendermaßen definiert ist: Sei π : X → X/ ∼, π(x) = [x], die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet. Dann ist Õ := {U ⊂ X/ ∼ | π^{−1}(U) ∈ O}.

Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann heißt

Y^{∘}= ⋃_{{U∈O \atop U⊂Y}} U

das Innere von Y und

\overline{Y} = ⋂_{A abgeschl. A⊃Y} A

der Abschluss von Y (bzgl. X).

Bemerkung. Y^{∘} ist offen, \overline{Y} ist abgeschlossen. Beispiele. 1.) X = ℝ (mit Standardtopologie), Y = [0, 1).

Y^{∘}= (0, 1), \overline{Y} = [0, 1].

2.) X = [0, ∞) (mit der Teilraumtopologie, die durch die Standardtopologie von ℝ induziert wird), Y = [0, 1).

Y^{∘}= [0, 1), \overline{Y} = [0, 1].

Definition. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), wobei X eine Menge ist und d : X × X → ℝ eine Funktion, die folgenden Axiomen genügt:

i) d(x, y) = 0 ⟺ x = y, ii) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie), iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung),

jeweils für alle x, y, z ∈ X. Außerdem heißt B_{r}(x) = {y ∈ X | d(x, y) < r} der offene Ball um x von Radius r. Bemerkung. Aus den Axiomen folgt d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ X. (Wie?) Bemerkung. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so bildet

O = {U ⊂ X | ∃r_{i} > 0 ∃x_{i} ∈ X s. d. U = ⋃_{i} B_{r_{i}}(x_{i})}

die induzierte Topologie auf X. Beispiel. Für X = ℝ^{n} und d(x, y) = ∥x − y∥ ist die induzierte Topologie gerade die Standardtopologie. Definition. Ein topologischer Raum heißt Hausdorff-Raum, falls es für je zwei verschiedene Punkte x_{1}, x_{2} ∈ X offene Mengen U_{i} ∈ O gibt mit x_{i} ∈ U_{i} und U_{1} ∩ U_{2} = ∅. Verschiedene Punkte können also durch offene Mengen getrennt werden.

U_{1}  x_{1}  x_{2}  U_{2}

Beispiele. 1.) Jede Menge mit diskreter Topologie ist ein Hausdorff-Raum (setze U_{i} := {x_{i}}). 2.) Eine Menge mit mindestens 2 Elementen mit der Klumpentopologie ist kein Hausdorff-Raum. 3.) Jeder metrische Raum ist hausdorffsch (setze U_{i} = B_{r}(x_{i}) mit r = (1/2) d(x_{1}, x_{2})). Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum, x ∈ X. Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt Umgebung von x, falls es ein U ∈ O gibt mit x ∈ U und U ⊂ Y.

Beispiel. Für X = ℝ ist [−1, 1] eine Umgebung von 0, denn 0 ∈ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] und (−1, 1) ist offen. Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum, x_{i} ∈ X, i ∈ ℕ, x ∈ X. Wir sagen, die Folge (x_{i})_{i} konvergiert gegen x, lim_{i→∞} x_{i} = x, falls für jede Umgebung V von x ein n ∈ ℕ existiert, so daß x_{i} ∈ V für alle i ≥ n. Der Punkt x heißt dann Grenzwert der Folge (x_{i})_{i}. Beispiele. 1.) Trägt X die Klumpentopologie, so konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt. I. a. sind Grenzwerte

also nicht eindeutig. 2.) Trägt X die diskrete Topologie, so konvergieren nur solche Folgen, die ab einem Index konstant sind. Bemerkung. In einem Hausdorff-Raum sind Grenzwerte eindeutig. LEMMA 1. Sei (X, d) ein metrischer Raum, x_{i} ∈ X, i ∈ ℕ, x ∈ X. Dann konvergiert die Folge (x_{i})_{i} genau dann gegen x, wenn folgendes ε-Kriterium erfüllt ist:

∀ε > 0 ∃n ∈ ℕ s. d. d(x_{i}, x) < ε ∀i ≥ n.

Beweis. Folgt direkt aus den Definitionen. □

Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_{i})_{i} heißt Cauchy-Folge, falls

∀ε > 0 ∃n ∈ ℕ s. d. d(x_{i}, x_{j}) < ε ∀i, j ≥ n.

Bemerkung. Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen. Definition. Ist umgekehrt in einem metrischen Raum auch jede Cauchy-Folge konvergent, so heißt der Raum vollständig. Beispiele. 1.) ℝ^{n} mit der Standardtopologie ist vollständig. 2.) ℚ mit der Metrik d(x, y) = |x − y| ist nicht vollständig, denn jede reelle Zahl, auch jede irrationale,

ist Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen (z. B. Dezimalbruchentwicklung). Solche Folgen sind Cauchy-Folgen, da sie in ℝ konvergieren, haben aber keinen Grenzwert in ℚ.

Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge U ⊂ O heißt offene Überdeckung von X, falls

X = ⋃_{U∈U} U.

Beispiel. U = {(k − 1, k + 1) | k ∈ ℤ} ist eine offene Übedeckung von ℝ. Definition. Ein topologischer Raum heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von U von X eine endliche (!) Teilmenge U′ ⊂ U besitzt, die X immer noch überdeckt. Vorsicht. Die Bedingung ist nicht die, daß X eine endliche offene Überdeckung besitzt. Das ist immer erfüllt, z. B. U = {X}. Die Bedingung besagt, daß man bei jeder offenen Überdeckung alle bis auf endlich viele Mengen weglassen kann und X immer noch ganz überdeckt wird. Beispiele. 1.) ℝ ist nicht kompakt, denn z. B. zu der oben angegebenen Überdeckung von ℝ gibt es keine endliche

Teilüberdeckung von ℝ. Läßt man auch nur eine der Mengen (k − 1, k + 1) weg, so wird der Punkt k nicht mehr überdeckt.

2.) Hat X nur endlich viele Elemente, so ist X kompakt.

3.) Trägt X die Klumpentopologie, so ist X kompakt.

4.) Trägt X die diskrete Topologie, so ist X nicht kompakt, es sei denn X hat nur endlich viele Elemente.

SATZ 2 (Heine-Borel). ℝ^{n} trage die Standardtopologie. Eine Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} ist kompakt, genau dann wenn A ⊂ ℝ^{n} abgeschlossen und beschränkt ist.

Beweis. Z. B. Forster, Analysis 2, Vieweg 1981, Seite 21.

Bemerkung. Wenn wir von kompakten Teilmengen eines topologischen Raumes sprechen, so ist dies stets bzgl. der Teilraumtopologie gemeint.

Eine Teilaussage im Satz von Heine-Borel ist in großer Allgemeinheit gültig:

LEMMA 3. Sei (X, O) ein Hausdorff-Raum. Ist A ⊂ X kompakt, so ist A ⊂ X abgeschlossen.

Beweis. Sei x ∈ X − A. Für jedes a ∈ A gibt es wegen der Hausdorff-Eigenschaft offene Mengen U_{x,a}, V_{x,a} ∈ O mit x ∈ U_{x,a} a ∈ V_{x,a} und U_{x,a} ∩V_{x,a} = ∅. Insbesondere bildet U = {V_{x,a} ∩A | a ∈ A} eine offene Überdeckung von A bezüglich der Teilraumtopologie. Wegen der Kompaktheit von A gibt es endlich viele a_{1}, …, a_{N} ∈ A mit A ⊂ ⋃_{j=1}^{N} V_{x,a_{j}}. Setze U_{x} := ⋂_{j=1}^{N} U_{x,a_{j}}. Dann ist U_{x} offen, x ∈ U_{x} und U_{x} ∩ A = ∅. Also ist X − A = ⋃_{x∈X−A} U_{x} offen, d. h. A ist abgeschlossen. □

LEMMA 4. Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt.

Beweis. Sei X kompakt, A ⊂ X abgeschlossen. Sei U eine bzgl. der Teilraumtopologie offene Überdeckung von A. Nach Definition der Teilraumtopologie gibt es eine Menge U′ von bzgl. X offenen Teilmengen von X mit U = {U ∩ A | U ∈ U′}. Dann ist U′′ = U′ ∪ {X − A} eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von U′′ für X und damit auch von U′ für A. Also ist A kompakt. □

Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge B ⊂ O heißt Basis der Topologie O, falls jedes Element in O sich als Vereinigung von Elementen in B schreiben läßt, d. h. für alle U ∈ O gilt

U = ⋃_{{V ∈B \atop V ⊂U}} V.

Beispiele.

1.) Ist X ein metrischer Raum, dann ist die Menge der offenen Bälle eine Basis der induzierten Topologie,

B = {B_{r}(x) | x ∈ X, r > 0} .

2.) Im Fall X = ℝ^{n} kommt man auch mit Bällen aus, die rationalen Mittelpunkt und Radius haben, d. h.

B = {B_{r}(x) | x ∈ ℚ^{n}, r ∈ ℚ, r > 0} .

Die Standardtopologie des ℝ^{n} besitzt also eine abzählbare Basis.

Definition. Seien (X, O_{X}) und (Y, O_{Y}) topologische Räume, x ∈ X, F : X → Y eine Abbildung. Dann heißt f stetig in x, falls für jede Umgebung V von f(x) in Y das Urbild f^{−1}(V) eine Umgebung von x in X ist. Falls f in jedem Punkt stetig ist, heißt f stetig.

Bemerkungen.

1.) f ist stetig genau dann, wenn

∀V ∈ O_{Y} : f^{−1}(V) ∈ O_{X}.

2.) Ist f : X → Y stetig in x ∈ X und g : Y → Z stetig in f(x), dann ist g ∘ f stetig in x.

3.) Sind X und Y metrische Räume, so ist f stetig in x genau dann, wenn folgendes ε-δ-Kriterium erfüllt

ist:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : f (B_{δ}(x)) ⊂ B_{ε}(f(x)),

oder anders ausgedrückt,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x̃ ∈ X mit d(x, x̃) < δ : d(f(x), f(x̃)) < ε.

Beispiele.

1.) Trägt X die diskrete Topologie und Y irgendeine, so ist jede Abbildung f : X → Y stetig.

2.) Trägt X irgendeine Topologie und Y die Klumpentopologie, so ist ebenfalls jede Abbildung f : X → Y stetig.

LEMMA 5. Sei f : X → Y stetig und A ⊂ X kompakt. Dann ist f(A) kompakt.

Beweis. Sei U eine offene Überdeckung von f(A). Dann ist U′ = {f^{−1}(U) | U ∈ U} eine offene Überdeckung von A. Da A kompakt ist, besitzt U′ eine endliche Teilüberdeckung, d. h. es gibt U_{1}, …, U_{N} ∈ U derart, daß A ⊂ ⋃_{j=1}^{N} f^{−1}(U_{j}). Dann ist

f(A) ⊂ f( ⋃_{j=1}^{N} f^{−1}(U_{j})) = ⋃_{j=1}^{N} f(f^{−1}(U_{j})) ⊂ ⋃_{j=1}^{N} U_{j}.

Also ist {U_{1}, …, U_{N}} ⊂ U eine endliche offene Teilüberdeckung von A. □

Definition. Seien (X, O_{X}) und (Y, O_{Y}) topologische Räume. Ein Homöomorhphismus ist eine stetige bijektive Abbildung f : X → Y, so daß auch f^{−1} : Y → X stetig ist. Gibt es einen solchen Homöomorphismus, so heißen die Räume (X, O_{X}) und (Y, O_{Y}) homöomorph.

Beispiele.

1.) tan : (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) → ℝ ist ein Homöomorphismus.

2.) Sei X eine Menge mit mindestens 2 Elementen. Sei O_{1} eine diskrete Topologie auf X, O_{2} die Klum-

pentopologie. Dann ist

f = id : (X, O_{1}) → (X, O_{2})

stetig und bijektiv, aber f^{−1} ist nicht stetig. Also ist f kein Homöomorphismus.

Die Stetigkeit von f^{−1} ist, wie das letzt Beispiel zeigt, nicht automatisch erfüllt, wenn f stetig und bijektiv ist. Unter bestimmten Voraussetzungen gilt dies aber doch:

LEMMA 6. Sei (X, O_{X}) kompakt und (Y, O_{Y}) ein Hausdorff-Raum. Ist f : X → Y stetig und bijektiv, so ist auch f^{−1} stetig, d. h. f ist ein Homöomorphismus.

Beweis. Zu zeigen ist, daß Bilder offener Mengen unter f wieder offen sind. Sei U ∈ O_{X}. Dann ist X − U abgeschlossen. Nach Lemma 4 ist X − U kompakt. Nach Lemma 5 ist f(X − U) = Y − f(U) kompakt. Nach Lemma 3 ist Y − f(U) abgeschlossen. Also ist f(U) offen. □