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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 12  \hfill  12.\ Juli 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
\a Sei $\phi:U\to V$ eine Karte einer Hyperfl\"ache $M$ in $\mR^n$.
Wir schreiben $\phi^{-1}=(F^1,\ldots, F^n)$, $F_i\in C^\infty(V)$.
Berechnen Sie die zweite Fundamentalform von $M$ in $\mR^n$ in Termen
der $F_i$ und deren Ableitungen.

\a Sei $f:\mR\to \mR^+$ eine glatte positive Funktion. Die 
\emph{Rotationsfl\"ache}
  $$M:=\{(x,(\sin \alpha) f(x), (\cos \alpha) f(x))\,|\,x,\alpha \in \mR\}$$
trage die von der Standardmetrik auf $\mR^3$ induzierte Metrik.
Berechnen Sie die Weingarten-Abbildung, die zweite Fundamentalform und
die Schnittkr\"ummung von $M$.

\a Sei $\bar M$ eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit
und $M$ eine abgeschlossene semi-riemannsche Untermannigfaltigkeit.
Zeigen Sie die \"Aquivalenz der folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item die zweite Fundamentalform von $M$ in $\bar M$ verschwindet
\item jede Geod\"atische $\gamma:(a,b)\to \bar M$ mit 
$\dot\gamma({a-b\over 2})\in TM$ verl\"auft vollst\"andig in $M$.
\end{enumerate}

\a Sei $(\bar M,\bar g)$ eine semi-riemannsche Untermannigfaltigkeit, 
$p\in \bar M$, und sei $V$ ein Untervektorraum von $T_pM$.  Man w\"ahle 
eine offene Umgebung $U$ von $0$ in $T_pM$ so klein, dass
$\exp_p$ ein Diffeomorphismus von $U$ auf $\exp_p(U)$ ist. Man zeige,
dass $\exp_p(U\cap V)$ eine Untermannigfaltigkeit von $\bar M$ ist, 
und man berechne die zweite Fundamentalform im Punkt $p$.


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Freitag, 16.7.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















