Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 12 12. Juli 2004

1 Sei φ : U → V eine Karte einer Hyperfläche M in ℝ^{n}. Wir schreiben φ^{−1} = (F^{1}, …, F^{n}), F_{i} ∈ C^{∞}(V). Berechnen Sie die zweite Fundamentalform von M in ℝ^{n} in Termen der F_{i} und deren Ableitungen.

2 Sei f : ℝ → ℝ^{+} eine glatte positive Funktion. Die Rotationsfläche

M := {(x, (sin α)f(x), (cos α)f(x)) | x, α ∈ ℝ}

trage die von der Standardmetrik auf ℝ^{3} induzierte Metrik. Berechnen Sie die Weingarten-Abbildung, die zweite Fundamentalform und die Schnittkrümmung von M.

3 Sei M̄ eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit und M eine abgeschlossene semi-riemannsche Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(a) die zweite Fundamentalform von M in M̄ verschwindet

(b) jede Geodätische γ : (a, b) → M̄ mit γ̇(\frac{a−b}{2}) ∈ T M verläuft vollständig in M.

4 Sei (M̄, ḡ) eine semi-riemannsche Untermannigfaltigkeit, p ∈ M̄, und sei V ein Untervektorraum von T_{p}M. Man wähle eine offene Umgebung U von 0 in T_{p}M so klein, dass exp_{p} ein Diffeomorphismus von U auf exp_{p}(U) ist. Man zeige, dass exp_{p}(U ∩ V) eine Untermannigfaltigkeit von M̄ ist, und man berechne die zweite Fundamentalform im Punkt p.

Abgabe: Freitag, 16.7.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

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