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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}


{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 11  \hfill  1.\ Juli 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\a Sei $(M,g)$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, $f\in C^\infty(M)$,
$X\in \Gamma(TM)$. Zeigen Sie
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $\Div (fX) = \pa_X f + f \Div X$
\item $\Div (X^b\otimes X^b)= (\Div X) X^b + (\na_X X)^b$ 
\end{enumerate}

\a Sei $S^{n,m}$ definiert wie auf dem letzten Blatt. Geben Sie ein 
Einheitsnormalenfeld $\nu$ an.
Berechnen Sie die 
zweite Fundamentalform $\II$ und die Weingarten-Abbildung bez\"uglich 
des obigen Einheitsnormalenfelds.

\a Sei $(M,g)$ eine zusammenh\"angende 
semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $n\geq 3$.
Es gebe eine glatte Funktion, so dass $\ric = f g$. 
Zeigen Sie, dass $f$ konstant ist. 
{\it Tipp: Nutzen Sie $2\Div \ric = d\, \scal$.}


\a Beweisen Sie Lemma 12.3. Also: Sei $(U,\ep,p)$ eine ideale Fl\"ussigkeit
auf einer $(3+1)$-dimensionalen Lorentzmannigfaltigkeit, und sei
  $$T=(\ep+p) U^b\otimes U^b + p g$$ 
der zugeh\"orige Energie-Impuls-Tensor. 
Dann sind \"aquivalent
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
\item $\Div T=0$ 
\item 
  $$\pa_u \ep =-(\ep+p) \Div U$$
und 
  $$g((\ep+p) \na_U U ,X)= -\pa_X p$$
f\"ur alle $X$, die auf $U$ senkrecht stehen.
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 8.7.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















