Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 11 1. Juli 2004

1 Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, f ∈ C^{∞}(M), X ∈ Γ(T M). Zeigen Sie

(a) div(fX) = ∂_{X}f + f div X

(b) div(X^{b} ⊗ X^{b}) = (div X)X^{b} + (∇_{X}X)^{b}

2 Sei S^{n,m} definiert wie auf dem letzten Blatt. Geben Sie ein Einheitsnormalenfeld ν an. Berechnen Sie die zweite Fundamentalform II und die Weingarten-Abbildung bezüglich des obigen Einheitsnormalenfelds.

3 Sei (M, g) eine zusammenhängende semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 3. Es gebe eine glatte Funktion, so dass ric = fg. Zeigen Sie, dass f konstant ist. Tipp: Nutzen Sie 2 div ric = d scal.

4 Beweisen Sie Lemma 12.3. Also: Sei (U, ε, p) eine ideale Flüssigkeit auf einer (3 + 1)- dimensionalen Lorentzmannigfaltigkeit, und sei

T = (ε + p)U^{b} ⊗ U^{b} + pg

der zugehörige Energie-Impuls-Tensor. Dann sind äquivalent

(i) div T = 0

(ii)

∂_{u}ε = −(ε + p) div U

und

g((ε + p)∇_{U}U, X) = −∂_{X}p

für alle X, die auf U senkrecht stehen.

Abgabe: Donnerstag, 8.7.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen