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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}


{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 10  \hfill  24.\ Juni 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\a Bestimmen Sie die nach Bogenl\"ange parametrisierten Geod\"atischen 
der oberen Halbebene $H:=\{(x,y)\in\mR^2\,|\,y>0\}$ mit der hyperbolischen
Metrik $g_{\rm hyp}=y^{-2} g_{\rm eucl}$.\\
{\it Tipp: Man schreibe $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ und unterscheide die F\"alle
$\dot x (t)=0$ und $\dot x(t)\neq 0$, und verwende die Subsitution $y=1/u$.}\\
Berechnen Sie die Schnittkr\"ummung von $(H,g_{\rm hyp})$. 
 
\a Sei $S^{n,m}:=\{x\in \mR^{n+1,m}\,|\,g^{n+1,m}(x,x)=1\}$, die sogenannte
\emph{semi-Riemannsche Sph\"are}. 
Zeigen Sie, dass $S^{n,m}$ eine semi-riemannsche Untermannigfaltigkeit
von $(\mR^{n+1,m},g^{n+1,m})$ ist. Die induzierte Metrik nennen wir $g$. 
Berechnen Sie 
den Riemannschen Kr\"ummungstensor, die Schnittkr\"ummung f\"ur alle 
Ebenen $E\in G_2(S^{n,m},g)$, die Ricci- und Skalarkr\"ummung.
{\it Tipp: Berechnen Sie diese Kr\"ummungen mit Hilfe einer Karte 
in einem einzigen Punkt, 
und nutzen Sie dann ein Symmetrie-Argument.}


\a Seien $(M_1,g_1)$ und $(M_2,g_2)$ semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Man versehe $M_1\times M_2$ mit der Produkt-Mannigfaltigkeitsstruktur. Sei
$\pi_i:M_1\times M_2\to M_i$ die Projektion auf $M_i$. F\"ur 
$(p,q)\in M_1\times M_2$ ist 
  $$T_{(p,q)} M_1\times M_2\to T_p M_1  \oplus T_q M_2, \qquad V\mapsto 
    (d\pi_1(V), d\pi_2(V))$$ 
ein Isomorphismus, verm\"oge dessen wir $T_{(p,q)} M_1\times M_2$
mit $T_p M_1  \oplus T_q M_2$ identifizieren. 
Seien nun $(X_1,X_2),(Y_1,Y_2)\in T_{(p,q)} M_1\times M_2$, wobei 
$X_1,Y_1\in T_pM_1$ und $X_2,Y_2\in T_qM_2$, dann wird durch 
  $$g\Big((X_1,X_2),(Y_1,Y_2)\Big):= g_1(X_1,Y_1) + g_2(X_2,Y_2)$$
eine semi-Riemannsche Metrik auf $M_1\times M_2$ definiert.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item
Berechnen Sie den Riemannschen Kr\"ummungstensor, die Ricci-Kr\"ummung und 
die Skalarkr\"ummung von $(M_1\times M_2, g)$ in Termen der 
Kr\"ummungsgr\"o\ss{}en von $(M_1,g_1)$ und $(M_2,g_2)$.
\item Zeigen Sie: Falls die Schnittkr\"ummung \"uberall auf $M_1$ und $M_2$
nicht-negativ ist, so ist auch die Schnittkr\"ummung von $(M,g)$ \"uberall 
nicht-negativ.
\item Gilt die Aussage in (b) auch, wenn wir "`nicht-negativ"'
durch "`nicht-positiv"', "`(strikt) positiv"' oder "`(strikt) negativ"' 
ersetzen? 
Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiele.
\end{enumerate}

\newpage
\a (Satz von Schur)
Sei~$M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit~$\dim M\ge3$.
Es gebe eine $C^\infty$-Funktion~$k\colon M\to\mR$,
so da\ss
	$$K(E)=k(p)$$
f\"ur alle~$p\in M$ und alle nicht-ausgearteten
Ebenen~$E\subset T_pM$. Zeigen Sie, dass dann $k$ lokal konstant ist.\\
{\em Tipp: Nutzen Sie zun\"achst Folgerung 9.14, um 
   $$ (\nabla_XR)(Y,Z)V:= \nabla_X(R(Y,Z)V)-R(\nabla_XY,Z)V- R(Y,\nabla_XZ)V-
                            R(Y,Z)\nabla_XV$$
zu berechnen. Nutzen Sie dann die 2. Bianchi-Identit\"at
  $$ (\nabla_XR)(Y,Z)V+(\nabla_YR)(Z,X)V +(\nabla_ZR)(X,Y)V=0\qquad 
     \forall X,Y,Z,V\in T_pM.$$
Wir werden diese Identit\"at am Dienstag 29.6. zeigen.
Nehmen Sie dann paarweise orthogonale $X,Y,Z$ und setzen Sie $V=Z$ und $W=Y$.}
%Sei~$X\in \Gamma(TM)$,
%und sei~$\nabla_XR=\iota_X (\nabla R)\in \Gamma(T^{1,3} M)$ durch
%  $$ (\nabla_XR)(Y,Z)V:= \nabla_X(R(Y,Z)V)-R(\nabla_XY,Z)V- R(Y,\nabla_XZ)V-
%     R(Y,Z)\nabla_XV$$
%f\"ur alle $Y,Z,V\in \Gamma(TM)$
%definiert. 
%\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
%\item
%Zeigen Sie, dass
%\begin{eqnarray*}
%	(\nabla_{\!W}R)(X,Y)Z
%		&=&\pa_Wk\,\bigl(\<Y,Z\>X-\<X,Z\>Y\bigr)\;.
%\end{eqnarray*}
%\item
%$$	R(X,Y)Z
%		=k\,\bigl(\<Y,Z\>X-\<X,Z\>Y\bigr)
%			\qquad\qquad\hbox{und}\\$$
%Beweisen Sie mit Hilfe der 2.~Bianchi-Identit\"at aus Aufgabe~4(b) vom
%letzten Blatt den {\sl Satz von Schur,\/}
%wonach~$k$ lokal konstant ist.
%\end{enumerate}

 
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 1.7.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















