Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 10 24. Juni 2004

1 Bestimmen Sie die nach Bogenlänge parametrisierten Geodätischen der oberen Halbebene H := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0} mit der hyperbolischen Metrik g_{hyp} = y^{−2}g_{eucl}. Tipp: Man schreibe γ(t) = (x(t), y(t)) und unterscheide die Fälle ẋ(t) = 0 und ẋ(t) ≠ 0, und verwende die Subsitution y = 1/u. Berechnen Sie die Schnittkrümmung von (H, g_{hyp}).

2 Sei S^{n,m} := {x ∈ ℝ^{n+1,m} | g^{n+1,m}(x, x) = 1}, die sogenannte semi-Riemannsche Sphäre. Zeigen Sie, dass S^{n,m} eine semi-riemannsche Untermannigfaltigkeit von (ℝ^{n+1,m}, g^{n+1,m}) ist. Die induzierte Metrik nennen wir g. Berechnen Sie den Riemannschen Krümmungstensor, die Schnittkrümmung für alle Ebenen E ∈ G_{2}(S^{n,m}, g), die Ricci- und Skalarkrümmung. Tipp: Berechnen Sie diese Krümmungen mit Hilfe einer Karte in einem einzigen Punkt, und nutzen Sie dann ein Symmetrie-Argument.

3 Seien (M_{1}, g_{1}) und (M_{2}, g_{2}) semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Man versehe M_{1} × M_{2} mit der Produkt-Mannigfaltigkeitsstruktur. Sei π_{i} : M_{1} × M_{2} → M_{i} die Projektion auf M_{i}. Für (p, q) ∈ M_{1} × M_{2} ist

T_{(p,q)}M_{1} × M_{2} → T_{p}M_{1} ⊕ T_{q}M_{2}, V ↦ (dπ_{1}(V), dπ_{2}(V))

ein Isomorphismus, vermöge dessen wir T_{(p,q)}M_{1} ×M_{2} mit T_{p}M_{1} ⊕T_{q}M_{2} identifizieren. Seien nun (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) ∈ T_{(p,q)}M_{1} × M_{2}, wobei X_{1}, Y_{1} ∈ T_{p}M_{1} und X_{2}, Y_{2} ∈ T_{q}M_{2}, dann wird durch

g((X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2})) := g_{1}(X_{1}, Y_{1}) + g_{2}(X_{2}, Y_{2})

eine semi-Riemannsche Metrik auf M_{1} × M_{2} definiert.

(a) Berechnen Sie den Riemannschen Krümmungstensor, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung von (M_{1} × M_{2}, g) in Termen der Krümmungsgrößen von (M_{1}, g_{1}) und (M_{2}, g_{2}).

(b) Zeigen Sie: Falls die Schnittkrümmung überall auf M_{1} und M_{2} nicht-negativ ist, so ist auch die Schnittkrümmung von (M, g) überall nicht-negativ.

(c) Gilt die Aussage in (b) auch, wenn wir ”nicht-negativ“ durch ”nicht-positiv“, ”(strikt) positiv“ oder ”(strikt) negativ“ ersetzen? Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiele.

4 (Satz von Schur) Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit dim M ≥ 3. Es gebe eine C^{∞}-Funktion k: M → ℝ, so daß

K(E) = k(p)

für alle p ∈ M und alle nicht-ausgearteten Ebenen E ⊂ T_{p}M. Zeigen Sie, dass dann k lokal konstant ist. Tipp: Nutzen Sie zunächst Folgerung 9.14, um

(∇_{X}R)(Y, Z)V := ∇_{X}(R(Y, Z)V) − R(∇_{X}Y, Z)V − R(Y, ∇_{X}Z)V − R(Y, Z)∇_{X}V

zu berechnen. Nutzen Sie dann die 2. Bianchi-Identität

(∇_{X}R)(Y, Z)V + (∇_{Y} R)(Z, X)V + (∇_{Z}R)(X, Y)V = 0 ∀X, Y, Z, V ∈ T_{p}M.

Wir werden diese Identität am Dienstag 29.6. zeigen. Nehmen Sie dann paarweise orthogonale X, Y, Z und setzen Sie V = Z und W = Y.

Abgabe: Donnerstag, 1.7.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen